¿Puede sugerir buenos recursos para comenzar a aprender sobre el análisis tensorial?

Answer 1

Version corta:

Por ahora: Métodos matemáticos para la física y la ingeniería (3ª edición): una guía completa

Para más adelante: Introducción a los tensores y teoría de grupos para los físicos.

Versión larga:

Creo que el mejor libro para aprender métodos matemáticos es de Riley Hobson y Bence. Este es el texto estándar utilizado en Cambridge para los físicos de licenciatura y lo usé como estudiante universitario en el Imperial College. Está lleno de ejemplos motivados por la física y, lo más importante, tiene muchos problemas y soluciones.

Aprender sobre los tensores puede ser frustrante. A menudo oirá a los físicos decir que un tensor es “un objeto que se transforma de acuerdo con [insertar ley de transformación] bajo un cambio de coordenadas”. Realmente nunca lo encontré muy satisfactorio porque quería saber qué es un tensor, no CÓMO se transforma.

Para entender por qué necesita conocerlos en física, es útil ver algunos ejemplos simples. Una sería la conductividad eléctrica. Es posible que hayas visto en un curso de electromagnetismo de primer año:

[math] \ vec {J} = \ sigma \ vec {E} [/ math]

En esta ecuación (J es la corriente, sigma es la conductividad y E es el campo eléctrico), la conductividad es solo un escalar. Este es el caso especial de una fórmula más general y se aplica solo si la conductividad del medio es la misma en todas las direcciones. En el mundo real, los objetos no conducirán, en general, las corrientes eléctricas de la misma manera en todas las direcciones, por lo que necesitamos la cantidad [math] \ sigma [/ math] para dar diferente ponderación a los diferentes componentes del campo eléctrico. Matemáticamente, necesitamos algo como

[math] J_ {x} = \ sigma_ {1} E_ {x} [/ math]

[math] J_ {y} = \ sigma_ {2} E_ {y} [/ math]

[math] J_ {x} = \ sigma_ {3} E_ {z} [/ math]

o, de forma más compacta:

[math] \ begin {pmatrix} J_ {x} \\ J_ {y} \\ J_ {z} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ sigma_ {1} & 0 & 0 \\ 0 & \ sigma_ {2} & 0 \\ 0 & 0 & \ sigma_ {3} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} E_ {x} \\ E_ {y} \\ E_ {z} \ end {pmatrix} [/ math]

Aún más generalmente, si es el caso que la conductividad del medio a lo largo de la dirección x, puede depender de las componentes y yz del campo eléctrico aplicado, necesitaríamos la conductividad para ser una matriz de 3 × 3 con desactivación de cero. componentes diagonales.

A menudo verá ecuaciones de tensor escritas como, por ejemplo,

[math] J_ {i} = \ sum_ {j = 1} ^ {3} \ sigma_ {ij} E_ {j} [/ math]

Lo que es solo la notación de componentes para la multiplicación de matrices, pero esta notación también se usa para tensores de rango superior.

La conductividad eléctrica o cualquier matriz es un ejemplo de un tensor de rango 2 porque tiene dos índices (correspondientes a filas y columnas). Los vectores también son tensores pero son tensores de rango 1. También puede tener tensores de rango más alto, por ejemplo, el símbolo de Christoffel en la relatividad general, [math] \ mathbf {\ Gamma ^ {i} _ {jk}} [/ math], es un tensor de tercer rango (observe el ‘piso de arriba’ índice). EDIT: esto no es en realidad un tensor pero el punto es que hay tensores de rango más alto que tienen más índices.

Cuando se trata de aprender sobre la mecánica cuántica y la relatividad, ayuda a apreciar que un tensor es una función multi-lineal, es decir, toma (para un tensor de rango dos) dos elementos de un espacio vectorial y devuelve un número. Cuando aprende sobre los tensores desde esta perspectiva, es útil comprender la diferencia entre los índices escritos como subíndices y superíndices (consulte el símbolo de Christoffel más arriba). Cuando llegue a esta etapa posterior de sus estudios, le recomendaría un libro de Nadir Jeevanjee llamado “una introducción a los tensores y la teoría de grupos para físicos”.

¡Espero que ayude!

Answer 2

Recoge una copia de los Métodos Matemáticos en las Ciencias Físicas por Boas, y pasa al capítulo sobre análisis tensorial. La presentación que se encuentra allí es relativamente breve, pedagógicamente, y está escrita por un físico y matemático para estudiantes de física, matemáticas y otras ciencias físicas. Las matemáticas se establecen con precisión, incluso si a veces se omiten las pruebas y se pierde la generalidad. Se incluyen muchos ejemplos y hay varios problemas al final de cada sección del capítulo. Se exploran ejemplos como el tensor de tensión. En resumen, el texto de Boas debería servirte bien.

Si se encuentra sin conocimientos previos, estudie qué es lo que le falta simplemente volviendo unas cuantas páginas a otro capítulo del texto de Boas.

Dado que usted es un estudiante de astronomía, puede que le interese relativamente. Muchos textos introductorios sobre el tema, por ejemplo, Hartle y Carroll, proporcionan alguna exposición sobre el análisis del tensor. Es posible que desee consultar estos textos también.