Deje que [math] A [/ math] sea [math] m \ times n [/ math]. Como existen [math] AB [/ math] y [math] BA [/ math], por lo tanto [math] B [/ math] debe ser [math] n \ times m [/ math]. Por lo tanto, [math] AB [/ math] es [math] m \ times m [/ math] y [math] BA [/ math] es [math] n \ times n [/ math]. Hasta ahora, todo lo que hemos establecido es que [math] AB [/ math] y [math] BA [/ math] son matrices cuadradas. Si [math] m \ neq n [/ math] entonces [math] AB [/ math] y [math] BA [/ math] tienen diferentes tamaños. No pueden ser iguales. Si [math] m = n [/ math] entonces [math] AB [/ math] y [math] BA [/ math] pueden compararse pero en general [math] AB \ neq BA [/ math] ya que la multiplicación de matrices es No conmutativo en general. En el caso especial de que [math] A [/ math] y [math] B [/ math] se conmuten entre sí, tendrá [math] AB = BA. [/mates]
Se dice que dos matrices conmutan si [math] AB = BA [/ math] o equivalentemente, su conmutador [math] [A, B] = AB-BA [/ math] es 0. No hay una respuesta directa para probar si el las matrices conmutan. Sin embargo, hay algunos ejemplos especiales que pueden ser relevantes para usted. Estamos asumiendo que tanto [math] A [/ math] como [math] B [/ math] son matrices cuadradas con las mismas dimensiones. La matriz de identidad conmuta con cada matriz [de las mismas dimensiones]. Una matriz diagonal conmuta con cada matriz. Si A y [math] B [/ math] son simétricos y su producto AB también es simétrico, entonces [math] AB = BA. [/mates]