El rango de [math] X [/ math] y [math] Y [/ math] son [math] \ {- 1,0,1 \} [/ math] y [math] \ {- 1,0,1 \} [/ math] respectivamente. Así, [math] X [/ math] y [math] Y [/ math] son variables aleatorias discretas. Podemos especificar la distribución de [math] X [/ math] y [math] Y [/ math] usando las funciones de masa de probabilidad.
- PMF de [math] X [/ math]
La asignación [math] X: \ Omega \ to \ mathbb {R} [/ math] está dada por
[math] 0 \ mapsto \ sin 0 = 0 [/ math]
[math] 1 \ mapsto \ sin (\ pi / 2) = 1 [/ math]
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[math] 2 \ mapsto \ sin (\ pi) = 0 [/ math]
[math] 3 \ mapsto \ sin (3 \ pi / 2) = – 1 [/ math].
Ahora podemos encontrar el PMF de [math] X [/ math] de la siguiente manera.
Para cualquier [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math], tenemos [math] \ mathbb {P} (X = x) = \ mathbb {P} (\ {\ omega \ in \ Omega: X (w) = x \}) [/ math]. Así
[math] \ mathbb {P} (X = -1) = \ mathbb {P} (\ {3 \}) = \ dfrac {1} {4} [/ math]
[math] \ mathbb {P} (X = 0) = \ mathbb {P} (\ {0,2 \}) = \ dfrac {2} {4} [/ math]
[math] \ mathbb {P} (X = 1) = \ mathbb {P} (\ {1 \}) = \ dfrac {1} {4} [/ math]
En otras palabras, la distribución, PMF, de [math] X [/ math] es una función [math] f_X: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math] dada por [math] f_X (x ) = \ begin {cases} \ dfrac {1} {4} & \ quad \ text {if} x = -1,1 \\ \ dfrac {2} {4} & \ quad \ text {if} x = 0 \\ 0 & \ quad \ text {de lo contrario} \\\ end {cases} [/ math]
- PMF de [math] Y [/ math]
La distribución, PMF, de [math] Y [/ math] es una función [math] f_Y: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math] dada por [math] f_Y (y) = \ begin {cases} \ dfrac {1} {4} & \ quad \ text {if} y = -1,1 \\ \ dfrac {2} {4} & \ quad \ text {if} y = 0 \\ 0 & \ quad \ text {de lo contrario} \\\ end {cases} [/ math]
Dejaré esto como un ejercicio, usaré un argumento similar al anterior.
- Para encontrar [math] \ mathbb {P} (X = Y) [/ math]
Necesitamos encontrar [math] \ mathbb {P} (\ {\ omega \ in \ Omega: X (\ omega) = Y (\ omega) \}) [/ math], que es [math] \ mathbb {P } (\ emptyset) [/ math] ya que ninguno de [math] 0,1,2,3 [/ math] está asignado al mismo número por [math] X [/ math] y [math] Y [/ math ]. Por lo tanto, [math] \ mathbb {P} (X = Y) = 0 [/ math].