Cómo empezar a aprender la teoría de los números.

Answer 1

Empecemos con la teoría de los números. Por números me refiero a números positivos por simplicidad.

1. Comience con la definición de divisibilidad que si un | b (lee a divide b) luego b = ak para algún entero k.
2. Ahora puedes pensar en “no divisiones” también. Eso es resto . Hasta ahora, es matemática elemental que aprendiste en la escuela.
3. Aprende el concepto de factor y múltiplo de un número. Si a es un factor de b, entonces a divide b y b es un múltiplo de a. Sencillo. ¿Derecha?
1. Observe que 1 y el número en sí son los dos factores para cualquier número. Entonces, el número de factores para un> 1 es al menos 2.
2. Ahora considere los números a> 1 que tienen exactamente dos factores. Se les llama números primos. Otros son compuestos. 1 no es ni primo ni compuesto. Eso es. ¿Es infinito el número de primos? ¡Contestarlo!
4. ¿Puedes escribir cualquier número como producto de uno o más factores primos? ¿Es único? Esa es la factorización prima y el teorema fundamental de la aritmética . La factorización primaria es difícil y aprendiste uno de los problemas teóricos de números importantes.
5. ¿Qué hay de contar el número de factores de un número dado? ¿Qué hay de encontrar la suma de todos ellos? (Teniendo en cuenta sólo su factorización prima).
6. Aprende el concepto de los mayores divisores comunes y el mínimo común múltiplo. Encontrar GCD de dos números dados – aprenderá uno de los algoritmos antiguos y eficientes que se usa incluso hoy en día – el algoritmo de Euclides para encontrar GCD.
7. Dado un número n, ¿qué hay de encontrar el número de números 1 <= m <n de manera que gcd (m, n) = 1? Esa es la función phi de Euler . ¡Ya lo has hecho hasta aquí! Felicidades.
8. Ahora vamos a la aritmética modular. un congruente con b módulo m significa que m divide ab. Verlo es sólo una notación de fantasía.
9. Luego lee sobre el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Euler . También aprenderá sobre la identidad de Bezout, el concepto de inversos modulares, etc.
10. ¿Qué tal resolver algunas ecuaciones que involucran congruencias? (involucrando aritmética modular). Considera los lineales por simplicidad. ¿Es posible tener una solución todo el tiempo? Otro problema interesante en criptografía es el problema de logaritmo discreto.

Genial, este es el comienzo de la teoría de los números. Es solo la punta del iceberg. Hay muchos problemas interesantes no resueltos, como la Conjetura de Twin Prime, la conjetura de Goldbach, etc. Otros han sugerido varios recursos. Úsalos y buena suerte en tu viaje en la tierra de los números 🙂

Answer 2

Depende mucho de su posición inicial y su objetivo. Asumiré que al principio no sabes nada y que quieres aprender solo por diversión.

En ese caso, creo que es bueno comenzar con la divisibilidad básica. En mi opinión, la mejor manera de aprender esto es aprender la definición básica y luego tratar de resolver un montón de problemas. Hay muchos ejercicios / problemas que puede resolver utilizando solo técnicas básicas como factorización de números primos, GCD y quizás el teorema de Bézout. Vea, por ejemplo, Brillante | Excel en matemáticas y ciencias. Al resolver muchos problemas (es bueno comenzar con algunos muy básicos) se obtiene cierta intuición y un buen conocimiento básico sobre el cual construir.

Después de eso, podría comenzar a aprender algunos conceptos más avanzados, como los residuos cuadráticos, la función totient de Euler, el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Wilson, el teorema del elemento primitivo (no estoy seguro sobre el nombre de este teorema en inglés, dice que siempre existe un elemento primitivo módulo un número primo) y comience a usarlos para resolver algunos problemas más avanzados, como las ecuaciones diofánticas. También es una buena idea aprender algo acerca de los grupos e intentar expresar cada uno de los teoremas anteriores en el lenguaje de los grupos multiplicativos módulo [matemáticas] n [/ matemáticas] ya que la mayoría de los resultados son muy naturales en este contexto. También puedes aprender algunas propiedades básicas de las funciones multiplicativas.

Ahora, probablemente hay muchas maneras de continuar. Mencionaré algunos de ellos.

• Continuar estudiando ecuaciones diofánticas, comenzando con la ecuación de Pell y sus generalizaciones. Esto puede llevar a la teoría de los números algebraicos, la teoría de las aproximaciones racionales y las formas cuadráticas.
• Hay una manera más práctica de avanzar hacia la criptografía y cosas como estas: aprender más sobre los grupos multiplicativos, los números primos y los algoritmos para la factorización de factores primarios o determinar si un número es un número primo.
• Es posible que desee estudiar la distribución de los números primos, ya sea que haya infinitos números primos gemelos o la conjetura de Goldbach. Esto lleva a la teoría analítica de los números, desde la cual se pueden aprender los conceptos básicos con un poco de conocimiento del análisis real. Recomendaría Introducción a la teoría analítica de los números por Tom M. Apostol.

Terminaré con algunos recursos (en mi opinión, buenos) para un estudio adicional. Probablemente hay muchos sitios donde aprender los conceptos básicos (y no tengo ningún favorito en inglés), así que no los mencionaré.

• Hay algunos artículos expositivos de Brian Conrad en este sitio: Documentos expositivos.
• Probablemente hay muchos cursos sobre la teoría analítica de números en línea, recomendaría estos por Andrew Granville (está en inglés, no se confunda por el enlace en francés): Théorie analytique des nombres, Automne 2012. Sin embargo, requieren un Conocimiento avanzado del análisis.
• Hay dos artículos más de Andrew Granville que se pueden leer sin mucha información (aunque no con la intención de entender todo). El primero es realmente mi favorito y comienza con la pregunta de si hay más números primos de la forma [math] 4k + 1 [/ math] o [math] 4k + 3 [/ math]: http: //www.dms .umontreal.ca / ~ andrew / PDF / PrimeRace.pdf . El otro trata sobre un nuevo enfoque hacia la teoría analítica de números sin la necesidad de la continuación analítica de la Función Zeta de Riemann con una introducción básica al problema en las primeras páginas: https://arxiv.org/pdf/1406.3754v …

Feliz aprendizaje, me encantaría responder cualquier otra pregunta.

Answer 3

Solo hay un curso de MOOC que conozco:

Diversión con los números primos: el misterioso mundo de las matemáticas

MIT OpenCourseWare:

Teoría de los números

Puede consultar a través de TODOS los cursos en línea en:

Descubre cursos en línea gratuitos y MOOCs • Class Central

MOOCs indios:

NOC: Página de Inicio

Gracias por la A2A

Answer 4

Puede estudiar temas específicos de un libro como el de Neal Koblitz o Alfred Menezes o cualquier otro buen libro, o puede revisar varios artículos escritos en otros sitios web competitivos de otros usuarios (Topcoder tiene uno).

Answer 5

Comencé con el libro de teoría de números elementales de David M Burton. Luego visité mucho el arte de resolver problemas. muy buen sitio web. Encontré innumerables problemas de diferentes dificultades y soluciones desde diferentes puntos de vista. También puede encontrar buenos problemas discutidos en math.stackexchange
brilliant.org también tiene problemas muy buenos. 🙂 divertirse

Answer 6

Será mejor si puedes comprar algunos libros, te estoy dando las mejores opciones.

1. SKMapa (para básico)
2. DMBurton
3. Niño de Barnard
4. Salón superior de álgebra y caballero

Estas son las mejores opciones, ve y agarra algunas. ¡¡Feliz aprendizaje!!

Answer 7

Teoría de números elemental por David M. Burton