Cómo probar que la fuerza electrostática es inversamente proporcional a la distancia cuadrada

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Solo se me ocurren tres formas de obtener el resultado de que la fuerza electrostática es el cuadrado inverso. Uno es trivial. Uno es “matemático” y muy fácil. Una de ellas es “física” y es difícil, necesitas conocer mucha física para realmente “demostrarla”. Solo puedo apuntarte en la dirección correcta
La versión trivial es por análisis dimensional.
Lo fácil es el argumento que Faraday ideó.
Considere una fuente puntual de flujo eléctrico (también podría ser la gravedad, por cierto).
Suponiendo que el flujo no se reduzca o decaiga en una distancia, entonces la cantidad total de flujo será la misma en cualquier envoltura concéntrica alrededor de la fuente. El área de estas conchas es proporcional a su radio al cuadrado, por lo que la densidad del flujo es proporcional al radio al cuadrado.
Puedes ver una buena imagen aquí: Ley del cuadrado inverso. Matemáticamente, la manera de afirmar esto es que la divergencia es cero. El resultado, por supuesto, depende del hecho de que vivimos en un universo de 3 dimensiones espaciales. En 2-D o 4-D no es cuadrado inverso.
La forma física es a través de la teoría cuántica de campos. Al considerar las perturbaciones en el campo para intercambiar partículas, es posible derivar la Energía Potencial entre dos partículas involucradas en el intercambio:
[math] E = – \ frac {1} {4 \ pi r} e ^ {- mr} [/ math]
Dado que el fotón es el portador de la interacción electromagnética y el fotón no tiene masa, m = 0 y por lo tanto la energía potencial [math] E \ propto \ frac {1} {r} [/ math], que hace que la fuerza sea cuadrada inversa.