Manifold es un concepto de topología, una rama de las matemáticas. No estoy seguro de si hay alguien que intente diseñar un algoritmo de optimización en las múltiples restricciones generales, excepto en los espacios afines.
Pero como concepto matemático, encuentra su camino en el diseño de algoritmos de optimización. Las condiciones KKT para la programación no lineal se pueden convertir en ecuaciones no lineales. Entonces, si uno puede resolver esas ecuaciones, puede obtener soluciones óptimas, soluciones óptimas típicamente locales si los problemas no son convexos. Como sabes, resolver ecuaciones no lineales siempre es difícil. Alguien propuso un algoritmo de seguimiento de homotopía para ecuaciones no lineales. Supongamos que desea resolver F (x) = 0, puede construir una homotopía H (x, t) = t × F (x) + (1-t) G (x) con G (X0) = 0 y t [0,1]. Indica la solución a H (x, t) por z (t). Bajo una condición débil, z (t) es una variedad unidimensional. Eso significa que z (t) es una curva abierta suave o un bucle. Como sé que z (0) = X0, puedo seguir la ruta z (t), cuando alcanzo t = 1, tengo la solución para F (x) = 0. Sin embargo, hay una gran laguna aquí. En primer lugar, F (x) = 0 puede no tener ninguna solución. En segundo lugar, incluso hay una solución, es posible que el algoritmo de seguimiento de ruta no funcione, z (t) podría ser un inicio de ruta en x0 pero se aleja infinitamente de X0. Para problemas de programación convexa, este algoritmo de seguimiento de ruta funciona, y no requiere una solución viable como punto de inicio, una gran ventaja sobre los algoritmos de punto interior. Finalmente, el método del punto interior prevalece, aunque requiere un punto de partida factible.