¿Puedo estudiar en el extranjero sin aprobar un examen de inglés como el CAE? Si es así, ¿en qué universidad?

No voy a decirte cómo, pero sugiero que reconsideres.

Estudiar en el extranjero a nivel universitario en un idioma en el que no eres completamente competente te pondrá en gran desventaja y probablemente te llevará a no alcanzar tu máximo potencial.
La razón por la que las universidades solicitan pruebas basadas en pruebas es para tratar de evitar que sus estudiantes fracasen innecesariamente.

Si estás desesperado por estudiar en el extranjero y no puedes esperar, te sugiero que te tomes un año para estudiar para el examen en sí. Hay escuelas de inglés en la mayoría de las grandes ciudades del Reino Unido y en los Estados específicamente para aquellos que deseen realizar estos exámenes. La ventaja de estos es que puedes aprender en un entorno de habla inglesa y entrar a la universidad con mucha más fluidez de lo que podrías tener.

Otro punto a tener en cuenta es que cualquier buena universidad solicitará una prueba de competencia, una que no es muy buena.

Por supuesto que quería decir: no es gran cosa pasar la prueba a largo plazo. Puedo estudiar por mi cuenta y también con mi tutor, así que creo que puedo realizar la prueba en un año. Creo que todos lo entenderán, pero para que quede claro