¿Cuál es la importancia del campo con un elemento en matemáticas? ¿Es una teoría prometedora?

Answer 1

El “campo en un elemento”, [math] \ mathbb {F} _ {1} [/ math], es como una interacción “off-shell” en QFT (lamento mencionar una “[…] teoría de campo totalmente diferente” por analogia). Parece tener algunas propiedades (al extender ciertas fórmulas para propiedades de campos que son funciones de característica, evaluándolas en 1 en lugar de en una potencia principal o 0). Resulta que podemos inferir un montón de propiedades universales de [math] \ mathbb {F} _ {1} [/ math] (como en la teoría de categorías), y sugiere cómo podemos generalizar la teoría de campos clásica para permitir algunos Nuevos objetos con comportamiento potencialmente esclarecedor.

Se están investigando seriamente algunos enfoques en este momento. La mayoría de la gente piensa que Consani y Connes han encontrado algo muy importante en su teoría de la geometría no conmutativa, pero todavía tengo que estudiarlo (recibo el whif de algunas construcciones “inmorales”, pero he escuchado opiniones diferentes de matemáticos “morales”) . Me gusta particularmente el enfoque de Durov, usar mónadas en Set para definir “anillos generalizados” y tomar la categoría de álgebras equivale a pasar a la categoría de módulos sobre un anillo. Desde aquí, se extienden una gran cantidad de teoremas, y esto reproduce el resultado popular de que “los módulos sobre [math] \ mathbb {F} _ {1} [/ math] son ​​conjuntos puntiagudos”. Esta es la postura que yo apoyo, ya que hizo una deducción equivalente el año pasado en términos de dualidad Tannaka y un enfoque representable puro.

El futuro es brillante para [math] \ mathbb {F} _ {1} [/ math], pero principalmente porque nos está enseñando la definición “adecuada” para muchas construcciones algebraicas. Estas teorías algebraicas en sí mismas son la base de la física teórica moderna, la geometría, la lógica y la teoría de la homotopía estable. Veo este “álgebra superior” como el sucesor natural de la teoría de categorías, en lo que respecta a la unificación de campos dispares.

Answer 2

El singleton con su única operación binaria no es un campo porque no satisface 1 ≠ 0. Hay muchas razones para tener este axioma. Considere, por ejemplo, las raíces polinomiales sobre este “campo”. Cada polinomio tiene una raíz, por lo tanto, el “campo” está algebraicamente cerrado, pero el número de raíces no es igual al grado del polinomio, incluso si estamos de acuerdo en cómo definir el grado. A menos que insistamos sin ninguna razón obvia, el grado de cada polinomio es 1, en cuyo caso el grado de producto no es una suma larga de grados. También deberíamos excluir constantemente este “campo” de los teoremas de álgebra lineal; los reales no serían el único campo con orden lineal y supremo, etc.

Muchos textos ni siquiera lo consideran un anillo, porque tiene que excluirlo de la mayoría de los resultados de la teoría del anillo conmutativo. Alternativamente, se llama el anillo cero.

Answer 3

Se llama el campo “trivial”. No sé en qué sentido podría llamarlo “prometedor”: hay una x, y dos operaciones x + x = x y x * x = x, por lo que es fácil verificar que todos los axiomas de campo son verdaderos (hay una identidad aditiva, a saber, x, y una identidad multiplicativa, a saber, x, y x * (x + x) = x * x + x * x, por lo que se cumple la regla distributiva, y así sucesivamente) y una vez que haya hecho eso No hay absolutamente nada más que decir.