Las matemáticas mentales involucran tres técnicas básicas:
- Reconocer cuándo los números tienen propiedades ideales, y usar atajos previamente elaborados para resolver el problema.
- Reorganizar el problema para que los cálculos intermedios sean más fáciles.
- Rompe los problemas difíciles en partes más simples y manejables, luego combina los resultados para obtener la respuesta.
Necesitará un repertorio de trucos para que pueda reconocer cuándo aplicar cada técnica.
En primer lugar, quiero llamar su atención con algunas frutas de baja altura. Aquí hay dos trucos que puedes usar para hacer matemáticas más rápido que una calculadora:
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Multiplicando números de 2 dígitos por 11 [1]:
Para multiplicar cualquier número de dos dígitos por 11, digamos 43 x 11, simplemente sume los dígitos (4 + 3 = 7) y colóquelo entre el 4 y el 3 para obtener la respuesta: 473. ¿Fácil, verdad?
Si la suma es mayor que 10, simplemente agregue 1 al primer dígito. Por ejemplo, 49 x 11, 4 + 9 = 13, así que pega el 3 entre el 4 y el 9 (439), e incrementa el 4 para obtener 539.
Puedes usar el mismo truco para números de 3 dígitos [2]. Por ejemplo 417 x 11:
4 + 1 = 5
1 + 7 = 8
Pégalos entre el 4 y el 7 para obtener 4587.
Cuadrar números de 2 dígitos que terminan en 5 [3]:
Dos reglas para recordar:
1) La respuesta comienza multiplicando el primer dígito por el siguiente dígito más alto.
2) La respuesta termina en 25.
Entonces, para calcular 35 x 35, multiplica 3 por el siguiente dígito más alto (4) para obtener 12, y termina en 25, entonces 1225. Lo mismo con 65 x 65, que es 6 x 7 = 42, y termina en 25 para obtener 4225 .
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Estos son ejemplos de cómo utilizar atajos pre-elaborados para resolver problemas. Son el mismo tipo de atajos que usamos para problemas como 23 x 100. Literalmente, no intentamos agregar 23 100 veces; solo sabemos agregar dos ceros al final de 23 para obtener la respuesta.
Los accesos directos existen para todo tipo de propiedades numéricas. Parte de ser bueno en matemáticas mentales es poder identificar cuándo puedes usar un atajo.
Vayamos a la aritmética básica, que requiere un poco de desaprendizaje.
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Suma resta
A pesar de lo que te enseñó tu maestro de 1er grado, siempre trabajas de izquierda a derecha . En lugar de intentar visualizar un gran problema en su cabeza, trabajando de derecha a izquierda, es mucho más fácil dividir ese problema en problemas de suma más pequeños, combinando los resultados de izquierda a derecha.
Por ejemplo, para calcular 328 + 267, dividiría el problema en partes más pequeñas: 328 + 200 + 60 + 7.
Mentalmente, es mucho más fácil llegar a la respuesta:
328 + 200 = 528
528 + 60 = 588
588 + 7 = 595
El mismo principio se aplica con la resta. Para calcular 563 – 328, reorganizamos el problema como 563 – 300 – 20 – 8:
563 – 300 = 263
263 – 20 = 243
243 – 8 = 235
Si su problema de resta requiere un préstamo, redondee el número hasta un múltiplo de diez. Resta el número redondeado, luego vuelve a sumar la diferencia.
Por ejemplo, para calcular 84 – 28, redondearíamos 28 hasta 30: 84 – 30 = 54. Luego podemos agregar 2 para obtener 56.
Multiplicación
Nuevamente, siempre trabajamos de izquierda a derecha, dividiendo los problemas en partes más simples y manejables. Por ejemplo, para calcular 56 x 42, reorganizaríamos el problema como 56 x 40 + 56 x 2:
56 * 40 = 560 * 4 = 500 * 4 + 60 * 4 = 2000 + 240 = 2240
56 * 2 = 50 * 2 + 6 * 2 = 100 + 12 = 112
2240 + 112 = 2352
A menudo hay muchas maneras de resolver un problema. Por ejemplo, para calcular 46 x 42, podría dividirlo en 40 x 42 + 6 x 42, o 46 x 40 + 2 x 46. El primer método se simplifica a 1840 + 92, mientras que el otro se simplifica a 1680 + 252. Este último es un problema más difícil de resolver. Entonces, ¿cómo decides qué número dividir?
Generalmente, usted desea elegir el número que producirá el problema de adición más fácil. En la mayoría de los casos, esto significa dividir el número con el último dígito más pequeño, ya que generalmente produce un segundo número más pequeño para que usted agregue [4].
Por ejemplo, vamos a tratar de dividir 81 x 59:
Rompiendo el número mayor: 81 * 50 + 81 * 9 = 4050 + 729
Rompiendo el número menor: 59 * 80 + 1 * 59 = 4720 + 59
En este ejemplo, romper el número más pequeño le da un problema de adición más simple.
El método de la resta (multiplicación)
Si el número que desea multiplicar termina en 8 o 9, a menudo es más fácil redondear y luego restar. Por ejemplo, para calcular 59 x 13, es más fácil redondear 59 a 60, luego restar 13 de la respuesta final:
59 x 13
= (60 – 1) x 13
= 60 x 13 – 13
= 780 – 13
= 767
De manera similar, para calcular 58 x 13, redondearía hasta 60, luego restaría 26 de la respuesta final:
58 x 13
= (60 – 2) x 13
= 60 x 13 – 13 x 2
= 780 – 26
= 754
División
En lugar de cubrir la división en esta respuesta, en cambio, lo remitiré al Capítulo 4 del excelente libro de Arthur Benjamin “Secretos de las Matemáticas Mentales”:
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¡Vamos a lo divertido!
Cuadrar cualquier número de 2 dígitos:
Para cuadrar cualquier número de dos dígitos, digamos 13 x 13, reorganice el problema de la multiplicación para que esté multiplicando dos números que también sumen 26, pero que sea más fácil de calcular en su cabeza. Entonces, en este caso, 10 x 16 = 160. Luego tomamos la distancia de 13 (en este caso 3, ya que 10 y 16 están a 3 del 13), cuadramos (3 x 3 = 9) y lo agregamos a 160 para obtener la respuesta final, 169.
Entonces, para calcular 47 ^ 2, reorganizamos el problema para que sea 44 x 50 + 3 ^ 2. Podemos hacer 44 x 50 en nuestra cabeza, 2200. Luego, agregue 3 ^ 2 para obtener 2209.
¿Por qué funciona este truco? Por la siguiente observación algebraica:
A ^ 2 = (A + d) x (A – d) + d ^ 2
A ^ 2 = A ^ 2 – dA + dA – d ^ 2 + d ^ 2
A ^ 2 = A ^ 2
Cuadrar cualquier número de 3 dígitos:
Puede aplicar el mismo truco anterior para cuadrar números de 3 dígitos. En lugar de redondear al múltiplo de 10 más cercano, redondea al múltiplo de 100 más cercano. Entonces, por ejemplo, al cuadrado 193, harías 200 x 186 + 7 ^ 2. Puedes hacer 186 x 200 en tu cabeza. Solo haz 186 x 2 = 372, y agrega dos ceros para obtener 37200. Luego agrega 7 x 7 para obtener 37249.
Cubriendo cualquier número de 2 dígitos:
Para calcular números en nuestra cabeza podemos usar un truco similar. Aquí está nuestra ecuación:
A ^ 3 = (A – d) * A * (A + d) + d ^ 2 * A
Así que al cubo 13 en nuestra cabeza, reorganizamos el problema para que sea:
10 * 13 * 16 + 3 ^ 2 * 13
Elegimos 3 como valor para d, ya que nos permite multiplicar por 10.
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¡Ahora todo lo que necesitas es práctica! Ojalá haya demostrado que cualquiera puede hacer matemáticas mentales. No necesitas ser un sabio, o tener un coeficiente intelectual de 185 a números cuadrados en tu cabeza. Se trata de dividir los problemas difíciles en problemas simples y resolverlos paso a paso. Al igual que la vida.
Con suficiente práctica, podrás hacer esto:
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[1] Puede representar cualquier número de 2 dígitos con (10A + B), donde A y B son enteros de un solo dígito. Afirmamos que (10A + B) * 11 = 100A + 10C + B, así que resolvamos para C:
110A + 11B = 100A + 10C + B
10A + 10B = 10C
C = A + B
[2] Puedes representar cualquier número de 3 dígitos con 100A + 10B + C, donde A, B, C son números enteros de un solo dígito. Estamos afirmando que 11 * (100A + 10B + C) = 1000A + 100 (A + B) + 10 (B + C) + C:
1000A + 100 (A + B) + 10 (B + C) + C
= 1000A + 100A + 100B + 10B + 10C + C
= 1100A + 110B + 11C
= 11 * (100A + 10B + C)
[3] Puedes representar cualquier número de 2 dígitos que termina en 5 con (10A + 5), donde A es un entero de un solo dígito. Entonces podemos resolver (10A + 5) ^ 2:
100A ^ 2 + 100A + 25
100 * A * (A + 1) +25
[4] Hay casos en los que no quieres dividir el número más pequeño. Para una discusión más profunda, lo referiré al Capítulo 3 del excelente libro de Arthur Benjamin “Secretos de Matemáticas Mentales”:
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(2) Números mayores a 50- 
(2) Números mayores que 100