¿Cuáles son las paradojas científicas más extrañas que son matemáticamente verdaderas pero contraintuitivas?

Answer 1

Tengo uno bueno:

La trompeta de Gabriel :

Considere la función simple Y = 1 / X:

Tome la parte a la derecha de x = 1 y gírela alrededor de X.

Crea una forma como un embudo o una trompeta, si usted:

Esta forma tiene una propiedad increíble. Puedes calcular el volumen y el área. (Estoy escribiendo en un teléfono, por lo que no diré los cálculos. Por favor, búscalos).

Lo sorprendente es que, si bien el volumen se puede calcular y es un número finito, ¡el área de la superficie es infinita! Para decirlo de otra manera, puedes rellenar esa forma tridimensional con pintura, pero no puedes pintar el exterior o la superficie interior, ¡ya que necesitaría una cantidad infinita de pintura!

Sin embargo, pintar no es una cosa bidimensional, para verla como una cosa bidimensional debe considerar una capa de pintura infinitamente delgada que cubra la superficie para que no muestre efectivamente lo absurdo del problema. La capa infinitamente delgada de pintura que cubre una superficie infinita puede requerir una cantidad finita de pintura, por lo que no hay anomalía en esto.

Esta anomalía se puede explicar así. Si fija el grosor de la capa de la pintura, en el área más ancha del cono hay más volumen de pintura dentro que en la superficie, pero a medida que avanza el punto cónico, el volumen tiende a disminuir dentro del cono, pero debido al grosor finito de la pintura. capa de pintura el volumen que cubre la superficie es más grande. Tan efectivamente no puedes pintarlo con toda la cantidad finita de pintura rellena dentro de la figura, si tomas un espesor finito de capa de pintura. Así que no es una paradoja ni parece contraintuitiva.

Esta es una buena representación física de la idea de que la suma de una serie convergente infinita es finita. Si tiene sentido intuitivo que 1 + 0.5 + 0.25 +…. = 2, entonces es fácil ver la intuición de que el volumen es finito mientras que el área es infinita. En la serie convergente anterior, el número de términos es infinito, al igual que la longitud de la línea en la función Y = 1 / X es infinito, lo que da como resultado que el área de la superficie sea infinita. En la serie convergente, la suma (del número infinito de términos) es finita. Correspondientemente, la suma del volumen del número infinito de ‘rebanadas’ de sección transversal del embudo es finita.

Answer 2

Aquí hay un hecho extraño y poco intuitivo de la física:

Si gira algo 360 °, ¡el resultado no es necesariamente el mismo que si no lo hubiera girado en absoluto!

¡Pero si lo gira en 720 °, siempre es exactamente igual que si no lo hubiera girado en absoluto!

Cuando giras 360 °, cada átomo y electrón se enrollan exactamente en las mismas coordenadas espaciales que antes, obviamente. Pero hay más en una partícula que su ubicación, incluso una partícula puntual. También tiene un estado interno, su “estado de giro”. Después de una rotación de 360 ​​°, el estado interno de las partículas de fermión (como los electrones y los protones) es diferente al anterior: la fase cuántica cambia por pi. Si lo gira por otros 360 °, siempre regresa en el mismo estado de giro que cuando comenzó.

Si ha tomado una clase de gráficos por computadora, es posible que haya aprendido a representar orientaciones en 3D usando cuaterniones de unidades. Puede recordar que estos tienen una propiedad extraña: hay dos cuaterniones de unidades que representan de manera redundante la “misma” orientación. Probablemente estabas muy molesto por esto. Significa que tuvo que escribir algunas líneas de código adicionales cuando comparaba orientaciones, por ejemplo. Por lo tanto, tal vez prefiera representar las orientaciones utilizando matrices de rotación 3D, porque aquellas al menos tienen la propiedad del sentido común de que cada orientación tiene exactamente una matriz correspondiente, no dos.

Bueno, puede que se sorprenda al saber que nuestro universo es en realidad como esos cuaterniones unitarios, y no como las matrices de rotación. Las orientaciones físicamente distintas del espacio vienen en pares, dos orientaciones que se ven iguales en el exterior, pero difieren en una rotación de 360 ​​°.

(En terminología matemática: la estructura de rotación de nuestro universo no es SO (3), como ocurre en la física clásica, sino su SU de doble cubierta (2)).

Answer 3

La paradoja de la rueda de Aristóteles.

En pocas palabras, establece que dos círculos concéntricos deben tener la misma circunferencia.

¿Cómo? Podrías preguntar.

Considere dos círculos concéntricos que se mueven en una dimensión, entonces, el camino trazado por el círculo más pequeño es de la misma longitud que el camino trazado por el círculo más grande.
También se podría pensar de esta manera. En dos círculos concéntricos, cada punto en el círculo más pequeño tiene un punto correspondiente en el círculo más grande (Intente unir cada punto con una línea). Por lo tanto, existe una correspondencia 1: 1 de puntos entre los dos círculos y, por lo tanto, deben tener la misma circunferencia.

La falacia se basa en el supuesto de que dos curvas que tienen una correspondencia de puntos 1: 1 deben tener la misma longitud de arco. Un punto en el círculo interior es una línea en el círculo más grande. Otra suposición errónea es el hecho de que la menor de las dos ruedas concéntricas gira con el círculo más grande, sin deslizarse. Eso es claramente imposible para dos círculos concéntricos que están conectados físicamente entre sí en el centro.

Answer 4

10kg de plomo pesa más de 10kg de plumas

Vea, ya que las plumas son menos densas (y por lo tanto una masa dada de plumas sería más alta que la misma masa de plomo) y la gravedad disminuye constantemente a medida que se aleja del centro de la tierra, los 10 kg de plumas tendrían un peso menor .

La densidad del plomo es 11340 [math] \ frac {kg} {m ^ 3} [/ math], 10 kg de los cuales producirían un volumen de .000881834 [math] m ^ 3 [/ math]. Cuando se modela como una esfera, tendría un radio de .059488428.

Density of Feathers es ~ 2.5 [math] \ frac {kg} {m ^ 3} [/ math], 10 kg de los cuales producirían un volumen de 4 [math] m ^ 3 [/ math]. Cuando se modela como una esfera, tendría un radio de .984745022.

Con las esferas, el centro de masa es también el centro de gravedad, por lo que, a los efectos de la Fuerza de Gravedad, se trata como una masa puntual en el centro de la esfera.

De acuerdo con la Ley de Gravedad de Newton, Fuerza de Gravedad = [math] G \ dfrac {M_1 * M_2} ​​{R ^ 2} [/ math]. Dado que G es una constante que es igual a 6.67e-11, ambas tienen una masa de 10 kg, y ambas están en la Tierra con una masa de 5.972e24 kg, la parte superior de la ecuación es constante; La única parte que cambiará es el radio.

• [math] \ dfrac {6.67e-11 * 10 * 5.972e24} {(RadiusOfEarth + RadiusOfMass) ^ 2} [/ math]
• [math] \ dfrac {3.983324e15} {(6,371 km + R) ^ 2}. [/ math] [math] R_1 [/ math] = 0.059488428 m, [math] R_2 [/ math] = 0.984745022 m.

Desafortunadamente, el número más exacto que podría encontrar para el radio de la Tierra es de 6,371,000 metros, por lo que las distancias entre los centros de los objetos y el centro de la tierra serán un poco aproximadas (desafortunadamente, este es el número clave).

Después de hacer los cálculos, nos encontramos con que la fuerza de gravedad que actúa sobre el plomo sería 98.13646604098829855937556346823912591595079848383052482617 Newtons, mientras que la fuerza de gravedad que actúa sobre las plumas sería 98.13643753639194386312618137007418144344358451399308269462 Newtons, una diferencia de 0.000028504596354696249382098164944472507213969837442131554 Newtons o 0.0001025294108797 onzas.

Entonces, la diferencia en peso sería una diez milésima de onza.

Ish.

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Un montón de puntos se han mencionado en los comentarios de esta y la otra respuesta similar (la respuesta de Tyler Brown a ¿Qué pesa más, un kilogramo de acero o un kilogramo de plumas?)

Si bien la fuerza de flotación sería más importante en magnitud que la variación en la gravedad, no reduciría el peso. La flotabilidad es una fuerza separada que actúa en la dirección opuesta. La fuerza de la gravedad (también conocida como el peso) sería la misma, pero la fuerza neta hacia abajo sería menor. Un registro de diez libras flotando en un lago todavía es de diez libras, pero también hay una fuerza flotante de diez libras que actúa sobre él y produce una fuerza neta de cero.

Esta respuesta también asume algunas cosas que se han llamado repetidamente (por ejemplo, densidad distribuida uniformemente, formas similares de las dos masas, ambas masas se colocan sobre algo que se encuentra a la misma distancia de la Tierra, el peso es la fuerza de la gravedad, no solo lo que la escala lee). Esta respuesta es definitivamente usando el modelo de “vacas esféricas en un vacío sin fricción”, y es una situación puramente teórica. En la vida real, la flotabilidad afectaría significativamente la medición del peso, no serían similares, las plumas se comprimirían de forma natural, qué tipo de plumas utilizarías, solo podrías poner la esfera delantera en un avión y enterrar las plumas significativamente. deshacerse de la fuerza de la gravedad, la culpa de matar a todas esas aves sería pesada, etcétera.

Answer 5

Paradoja de Zeno (también deletreada Xeno).

En su forma más simple, dice: Lo que está en locomoción debe llegar a la etapa intermedia antes de llegar a la meta.

Supongamos que desea ir de A a B. Para llegar a B, primero debe atravesar la mitad de la distancia entre A y B. Luego, la mitad de la distancia que queda, luego la mitad de la distancia que sigue a la izquierda, y así sucesivamente. Siendo esta una serie infinita, obviamente, ¡nunca serás capaz de alcanzar B!

En la vida real, obviamente, una vez que partimos hacia el punto B desde A, lo alcanzamos. Esto puede verse como una prueba física para la suma infinita:

[math] 1/2 + 1/4 + 1/8… = 1 [/ math]

Pero, ¿cómo se puede realizar un número infinito de tareas?

Y como Srijan Dubey me acaba de recordar, hay un clásico de Dilbert en este:

Answer 6

¿Cuánto dura la costa de Gran Bretaña?

Supongamos que tienes un mapa y una regla. Comienzas con segmentos de longitud fija y creas un polígono alrededor de Gran Bretaña:

En este ejemplo, cada línea representa 100 kms, por lo que la longitud de la costa es de aproximadamente 2,800 kms.

¿Pero qué pasa si usas segmentos de la mitad del tamaño? Usted obtiene esto:

Con segmentos de 50 kms ahora, la longitud aproximada de la costa es de 3,400 kms, 600 kms más que en el ejemplo anterior.

Y, finalmente, ¿qué sucede cuando sigues utilizando segmentos cada vez más pequeños para medir la longitud del litoral? ¡Consigues que la costa tenga longitud infinita!

Este es un problema fractal y, por supuesto, en realidad la costa de los países no se mide en segmentos infinitamente pequeños y puede medirse en kilómetros, pero es un ejemplo divertido.

Answer 7

Hola,

Para mí, por ahora, la paradoja más extraña es que:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… = -1/12

Esto debería llevar a una suma infinita, pero con una prueba matemática puedes encontrar que es igual a -1/12.

Puedes encontrar enlaces útiles para explicar esto.

y

Answer 8

En este momento, podría estar a solo un centímetro de distancia del Monte Everest; podrías estar a un centímetro de la galaxia de Andrómeda; usted podría estar a un centímetro de todos los habitantes de la Tierra, podría estar a un centímetro de Dios, si cree en él y nunca lo sabe. Todo lo que necesita es UNA dimensión espacial adicional, y los modelos de física sugieren 10 o 12 dimensiones espaciales. Imagina que somos criaturas planas de dos dimensiones, viviendo en una enorme hoja de papel. Para nosotros, viajar solo puede ser a lo largo o a través de esa hoja. Ahora toma esa hoja y atorníllala en una bola. Todo lo que está en esa hoja ahora está espacialmente muy cerca, en 3-d, sin embargo, una criatura en 2-d nunca sabe nada diferente. Podrías convertir esa hoja bidimensional en una esfera, y las criaturas bidimensionales creen que su universo es infinito, ya que no tiene borde ni límite. Podrías inflar esa esfera, como inflar un globo, y los bichos en 2-D piensan que su universo se está expandiendo, pero no pueden decir qué. Si fuera una especie de fantasma tridimensional desagradable, podría meterme en tu mundo bidimensional, lanzar cosas a través de él, hacer que desaparezcan y reaparecer, o arrojarte sombras de mí mismo, y no serías capaz de decir cómo lo hago. lo hizo. El mismo fantasma podría darte una visión a distancia, o ver cosas que nunca pudiste. Todo desde una dimensión espacial extra. No vemos esa dimensión, por la misma razón que una manguera de jardín tiene un aspecto tridimensional si es muy pequeña (una línea), pero en realidad es tridimensional, pero sus dimensiones 2 y 3 son muy pequeñas. Ahora, si puede hacer todo eso con una dimensión adicional, ¿qué podría hacer con 7 o 9 más de lo que vemos?

Answer 9

El hecho de que hay diferentes tamaños de infinito. La mayoría de la gente se sorprende al escuchar esto. Pero es fácilmente demostrable usando la prueba contra diagonal del Cantor.

Considere todos los números entre 0 y 1. Hay un número infinito de ellos, pero ese número infinito es mayor que el número infinito de todos los enteros. Prueba: suponga que podría crear una correspondencia 1-1 entre los miembros de estos conjuntos. Puede parecer algo como lo siguiente:

1 – .024323456… ..
2 – .4392010384….

etc.

Ok, así que los tienes todos, ¿verdad? ¿Promesa? Y si pudiera mostrarte que no importa qué, estás equivocado. Eso significaría que no es posible enumerarlos a todos, porque no importa qué, hay un número que se perdió. Aquí va.

Esta lista no puede contener todos los números entre 0 y 1, porque puede construir un número que no esté en la lista cambiando el primer dígito del primer número, el segundo dígito del segundo … creando algo como:

.15…. (la diagonal contraria). No puede ser el primero porque el primer dígito es diferente, no puede ser el segundo, etc.

Dado que este nuevo número no está en la lista que creó originalmente, pero suponemos que contiene todos los números entre 0 y 1, hemos demostrado que no es posible crear una lista de reales entre 0 y 1. Prueba por contradicción.

Edit: Aquí hay una explicación mejor que la mía: http://www.scientificamerican.co …

Answer 10

El quark es solo una cosa de la física cuántica que tiene algunas propiedades muy extrañas. Nunca está solo, siempre viene en al menos un par. Cuanto más intentas separarlo, más fuerte es la atracción. Esto es lo contrario de la norma; Sería como si, mientras más lejos te alejas de la Tierra, más gravedad sientas. Pero digamos que sigues tirando de una parte poniendo más y más energía en ella. El par de quarks se aleja cada vez más y usted agrega más y más energía, se manifiesta E = MC2. La ecuación simplemente establece que la masa y la energía son realmente lo mismo. A una cierta distancia crítica, agregas suficiente energía que al usar la ecuación de Einsteins, es igual a (básicamente) la masa de dos quarks. Fuera de esta energía y la tensión de los quarks que se están separando, se forma un nuevo par de quarks. La tensión de los quarks desaparece porque ya no están solos.

Otro es el efecto túnel, es lo que permite que el sol produzca luz solar a una temperatura más baja de lo que podemos hacer aquí en la tierra. El sol no tiene suficiente calor para fusionar los átomos de hidrógeno, pero eso no impide que lo haga de todos modos mediante el uso de túneles cuánticos. Es raro que ocurra, pero debido a que el sol es tan grande, ocurre a menudo o al menos con suficiente frecuencia para nosotros. Este mismo principio dice que si presionaste contra una pared de tu casa el tiempo suficiente (aunque nunca pudiste hacerlo a todos los efectos) puedes atravesar la pared y reaparecer en el otro lado. Es tan raro que si lo hiciste desde el principio de los tiempos hace 13,800,000,000 años y hasta el final estimado del universo, incluso en 100,000,000,000 veces la edad del universo anterior, las posibilidades son todavía muy remotas que podrías tomar. La ventaja del túnel cuántico es que el sol lo hace muchos billones de veces por segundo para crear la energía que utilizamos para toda la vida y todas nuestras actividades, como moverse, pensar y leer / publicar cosas interesantes en Quora.

Algunas otras cosas interesantes:

Los objetos pueden estar en dos lugares al mismo tiempo, pero la mitad del tiempo son esencialmente en ninguna parte.

A medida que avanza a través del espacio, más contraintuitivo se vuelve para el resto de nosotros. Aunque usted mismo nunca note nada extraño, a medida que se aproxima, los efectos se vuelven más y más pronunciados hasta que alcanza la velocidad de la luz, momento en el que se vuelve infinitamente masivo, bidimensional y deja de envejecer. Esto es relatividad y en realidad es relativamente fácil de calcular (perdón, no pude evitarlo).

Answer 11

La paradoja de Banach-Tarski: en términos sencillos, puede dividir una bola sólida en un número finito de piezas, reorganizar estas piezas y volver a juntarlas para obtener dos bolas, cada una idéntica a la original. En otras palabras, puede desarmar un guisante y volver a ensamblarlo al sol.

Aunque esto es realmente contrario a la intuición, en realidad es un hecho comprobado en la teoría de conjuntos (bueno, dependiendo de si acepta o no el axioma de elección).

Answer 12

El intervalo de unidades [0, 1] tiene la cardinalidad del continuo. ¡Esto implica que un segmento de línea de longitud 1, que es parte de una línea real, tiene el mismo número de puntos que la línea completa (-∞, + ∞)!

Una explicación intuitiva de la prueba:

Considere la línea diametral del semicírculo como el intervalo unitario [0, 1]. Y la línea debajo del semicírculo como la línea Real (-∞, + ∞).

Ahora, para encontrar un punto único para cada punto en la línea Real, conecte ese punto con el centro del semicírculo. La línea debe cruzarse en un punto único en el semicírculo, digamos (x, y). El valor ‘x’ de este punto es el número de mapeo entre [0, 1].

Answer 13

1 . Pequeñas gotas conforman el océano :

Bueno, todos sabemos que 1/2 +1/4 + 1/8 … converge a un número finito:

Sin embargo, la parte contraintuitiva es que solo se agrega 1/3; 1/5; 1/6; 1/7; 1/9 …… .. hacen de esta una serie divergente.
1/2 +1/3 +1/4 +1/5 + 1/6 … divergen hasta el infinito.

Por eso lo llamo: pequeñas gotas forman un océano .

Answer 14

Entre 2 números enteros hay un número infinito de fracciones diferentes (números racionales), y entre 2 fracciones hay un número infinito de otras fracciones.

Sin embargo, a pesar de esto, la cantidad total de fracciones (números racionales) es igual a la cantidad de números enteros. Es decir, la cardinalidad de los números racionales es igual a la cardinalidad de los enteros.

La prueba es intuitiva y fácil de entender. Pero la conclusión a la que conduce es totalmente contradictoria y parece paradójica.

Answer 15

¡El campo completo de partículas subatómicas es una paradoja para la física moderna! ¡casi todo lo que encuentran en lo extremadamente pequeño hace exactamente lo que ellos esperan que no sea!
¡La luz es tanto una partícula como una onda!
Los electrones están en ninguna parte y en todas partes alrededor de un núcleo.
El carbono es un conductor en lugar de un aislante.
¡Puedes unir dos partículas tan estrechamente que la única forma en que puedan comunicarse sería una forma de viajar en el tiempo!
Hay una partícula radiactiva que no se descompone si se está observando!
¡La luz es una onda hasta que la mides y luego se ACTÚA como una partícula!
La mecánica cuántica funciona porque calculan todo con un? en lugar de una medida.
¡Viaja demasiado rápido y te romperás el tiempo!
¡Viaja demasiado rápido y te volverás más pesado que el universo!
El espacio no es solo material sino que puedes plegarlo.
¡Probablemente hay otras demensiones además de las 4 grandes que existen a nuestro alrededor, pero son tan pequeñas que solo afectan a las más pequeñas!

Si te gustan las paradojas, lee sobre las cosas muy pequeñas en nuestro mundo; ese campo explotó a principios del siglo XX Y luego nuevamente entre 20 o 30 o 50 veces desde entonces (dependiendo de lo que consideres explosivo) Y ahora lo está haciendo nuevamente con algunos de los nuevos materiales y dispositivos de medición avanzados que están usando. Algunas de las matemáticas que utilizan no solo indican que el mundo es un grupo gigante de cosas que ni siquiera habíamos imaginado antes, sino que, en realidad, ¡DECIENDO que algunas de esas cosas son parte del mundo en el que existimos! Estos chicos viven en un lugar completamente diferente al que tú y yo; un lugar donde las reglas y leyes son ignoradas y reescritas diariamente …

Para Daren:

http://www.highexistence.com/thi …

http://io9.com/5744143/particles …

http://www.einstein-online.info/…

http://adamapollo.info/projects_…

http://www.higgo.com/quantum/lay …

http://profmattstrassler.com/art …

http://www.redicecreations.com/s …

http://en.m.wikipedia.org/wiki/Q …

No tenga miedo de saltar a uno de estos sitios web, con sus superpoderes de “No necesito saber de qué estoy hablando para sonar” actitud y poner a estos muchachos en orden también … Use esa línea de “décadas” ; eso mata.

Answer 16

[math] e ^ {i * pi} + 1 = 0 [/ math] (Identidad de Euler)

[No se puede obtener este formato correctamente; debe ser elevado a la potencia de i veces pi.]

e y pi son números irracionales; i es la raíz cuadrada de -1 (imaginario). ¿Qué puede significar llevar e a la potencia de i veces pi? Y sin embargo, la respuesta es -1.

Answer 17

Mi rompecabezas matemático contraintuitivo favorito es el problema de Monty Hall, basado en el programa de juegos “Let’s Make a Deal”.

Levantado de Wikipedia, se puede decir así:
Supongamos que estás en un programa de juegos y te dan la opción de tres puertas: detrás de una puerta hay un auto; Detrás de los demás, cabras. Eliges una puerta, dices No. 1, y el anfitrión, quien sabe qué hay detrás de las puertas, abre otra puerta, dice No. 3, que tiene una cabra. Luego te dice: “¿Quieres elegir la puerta número 2?” ¿Te conviene cambiar tu elección?

La lógica dictaría (para mí, de todos modos, a primera vista) que tendrías las mismas probabilidades de ganar el auto si sigues con tu elección actual O haces el cambio. Pero, de hecho, ¡si te cambias, doblas tus probabilidades!

He presentado esta paradoja a algunas de las personas más inteligentes que conozco y he terminado teniendo algunos buenos argumentos sobre la respuesta. Cuando este rompecabezas se presentó originalmente en la revista Parade, más de 10,000 personas escribieron para decir que la respuesta estaba equivocada. Sin embargo, numerosas explicaciones y simulaciones demuestran que la respuesta de “duplicar las probabilidades al cambiar” es correcta.

Loco, eh? Pero la clave está en el hecho de que el anfitrión sabe lo que hay detrás de las puertas .

Vamos a exponer el problema de otra manera. Eliges la puerta número 1, que tiene solo un tercio de probabilidad de contener el auto. El anfitrión dice: “En lugar de eso, puedes elegir MUCHAS DE LAS OTRAS PUERTAS JUNTAS. Y si eliges hacerlo, te mostraré una de ellas que contiene una cabra”. Este es en esencia el mismo problema que el anterior. Al cambiar de 1 puerta a 2 puertas, el participante aumenta sus probabilidades de 1/3 a 2/3 … pero solo porque el anfitrión acordó revelar una cabra en ese momento.

Hay muchas otras explicaciones de este problema en Wikipedia en “Monty Hall problem”. ¡Pero no se sorprenda si la respuesta correcta todavía se siente completamente intuitiva!

Answer 18

El hecho de que el número repetido “0.9999 …” sea igual a “1”.

La prueba va:
[math] x = 0.999… [/ math]
[math] 10x = 9.999… [/ math]

Por lo tanto,
[math] 9x = 9 [/ math]
[math] x = 1 [/ math]

Vea el artículo de Wikipedia sobre esta paradoja: 0.999 ……

Answer 19

La mayoría de las paradojas son simplemente líneas de razonamiento que postulan una conclusión aparentemente contradictoria o contraintuitiva. Al final, siempre hay alguna forma de resolver estas paradojas nocionales (tomando prestado un término usado por Kendrick VanZant). Una vez que conocemos el secreto de su resolución, ya no son tan paradójicos. Usted puede encontrar muchos de estos dispersos a lo largo de Quora. Además de esta pregunta, ver también

• ¿Cuál es la paradoja más impresionante?
• ¿Cuáles son algunas de las paradojas más famosas?

Las paradojas nocionales pueden depender de nuestra falta de intuición para

• Infinito: Gabriel’s Horn, la gran paradoja de Hilbert, las paradojas de Zeno
• Probabilidad: problema de Monty Hall, problema de cumpleaños, dos sobres, paradoja, problema del niño del martes
• Viaje a la velocidad de la luz cercana: paradoja gemela, paradoja del abuelo (inclinación filosófica a la paradoja del abuelo)
• Mecánica cuántica: paradoja de EPR, experimento de Stern-Gerlach, paradoja de Gibbs (escribo sobre esto a continuación), experimento de doble rendija

Entre muchos otros. No obstante, son estrictamente no contradictorias, y el grado en que son contraintuitivos es altamente subjetivo. Al igual que los números negativos ya no son una “paradoja” una vez que aprendes acerca de los enteros, un matemático probablemente vea la paradoja del gran hotel de Hilbert de inmediato, y un físico probablemente tenga el experimento de doble asiento arraigado en su intuición científica.

Sin embargo, algunas paradojas no se pueden “resolver” en el sentido habitual. Estas son paradojas lógicas , que reflejan inconsistencias en el tejido de la lógica misma. Por ejemplo, considere la declaración,

Esta afirmación es falsa.

La mayoría, si no todas, las paradojas tienen algún tipo de naturaleza autorreferencial, como la paradoja de Russell, la paradoja de Curry y la paradoja de los epiménides, que apuntan hacia un problema con la teoría de conjuntos ingenua abordada en
Teoremas de la incompletitud de Gödel.

Estas paradojas son mucho más que una simple curiosidad lógica: molestaron tanto a los matemáticos que eventualmente estimularon desarrollos importantes en las matemáticas modernas, incluyendo ZFC y el axioma de elección.

Una variación de la paradoja de los epimenides.

Si bien la paradoja de Epiménides no es, estrictamente hablando, una paradoja de “ciencia”, no puedo, en buena conciencia, dejar de lado la única “verdadera” paradoja, es decir, la única paradoja que sigue siendo paradójica, no importa cuántas veces mires. en eso En cualquier caso, alienta el mismo espíritu de investigación que hacen muchas “paradojas” relacionadas con la ciencia, por lo que a este respecto es un juego justo.

Tal vez haya visto “Esta afirmación es falsa” tantas veces que hace que sus ojos se pongan en blanco, así que permítame replantearlo en una forma diferente. Hay muchas variaciones en la paradoja de los epimenides, una de las cuales fue elaborada por Martin Gardner:

Imagina que tienes diez casillas etiquetadas del 1 al 10. Mientras tu espalda está volteada, un amigo esconde un huevo en una de las casillas. Te das la vuelta. “Quiero que abra estas cajas una a la vez”, le dice, “en orden serial. Dentro de una de ellas, le garantizo que encontrará un huevo inesperado. Por ‘inesperado’ quiero decir que no podrá deduce en qué caja está antes de abrir la caja y verla “.

Suponiendo que su amigo sea absolutamente confiable en todas sus declaraciones, ¿se puede cumplir su predicción? Aparentemente no. Obviamente, no pondrá el huevo en la casilla 10, porque después de que haya encontrado las primeras nueve casillas vacías, podrá deducir con certeza que el huevo está en la única casilla restante. Esto contradeciría la declaración de tu amigo. La caja 10 está fuera. Ahora considere la situación que surgiría si fuera tan tonto como para poner el huevo en la casilla 9. Encontrará las primeras ocho casillas vacías. Sólo quedan 9 y 10. El huevo no puede estar en el recuadro 10. Ergo debe estar en el 9. Debes abrir 9. Por supuesto, ahí está. Claramente es un huevo esperado, y por eso tu amigo está nuevamente equivocado. La caja 9 está fuera. Pero ahora has comenzado tu inexorable deslizamiento hacia la irrealidad. El cuadro 8 se puede descartar precisamente por el mismo argumento lógico, y de manera similar, los cuadros 7, 6, 5, 4, 3, 2 y 1. Confiando en que los diez cuadros están vacíos, comienzas a abrirlos. ¿Qué tenemos aquí en el recuadro 5? Un huevo totalmente inesperado! La predicción de tu amigo se cumple después de todo. ¿Dónde salió mal tu razonamiento?

Hay una serie de posibles “resoluciones” para este rompecabezas paradójico, pero las dejaré como ejercicios para el lector. (Tenga en cuenta que no hay una respuesta de consenso a la pregunta. Consulte, por ejemplo, Chow, “El examen sorpresa o la paradoja inesperada de la suspensión.)

Algunas paradojas nocionales en la mecánica cuántica.

Como he dicho, una advertencia de las paradojas de la “ciencia” es que si piensas en ellas lo suficiente, eventualmente tienen “sentido” y eventualmente se convierten en parte de tu intuición científica, ¡de eso se trata el aprendizaje de la ciencia!

En cualquier caso, si realmente desea tener una paradoja “científica”, emitiría mi voto por tres paradojas nocionales que ilustran algunos principios clave de la mecánica cuántica , que a veces se considera uno de los temas más contraintuitivos para aprender:

• El experimento de Stern-Gerlach. El video que he elegido incluye una explicación sobre el experimento que es más larga que la mayoría, pero es la única que es lo suficientemente completa para explicar lo que está sucediendo (a un laico).

• La paradoja de Gibbs. Hay varias variaciones famosas sobre lo que Gibbs escribió originalmente, así que me tomaré la libertad de hacerlo de la siguiente manera, que es un poco más claro para aquellos que no conocen la termodinámica.

  Supongamos que tenemos dos gases ideales monoatómicos idénticos en una cámara de volumen fijo. Se coloca un divisor entre los dos gases (cortando la cámara exactamente a la mitad), separándolos en dos volúmenes iguales. Podemos calcular la entropía total de los gases de forma clásica (es decir, suponiendo que todas las partículas son distinguibles). Supongamos que obtenemos algún valor [math] 2S [/ math] (es decir, [math] S [/ math] para cada volumen).

  Si levantamos el divisor (en efecto no habiendo hecho mucho si hay un gran número de partículas) y calculamos la entropía nuevamente, encontraremos que la entropía de la mezcla es considerablemente mayor que [math] 2S [/ math]; de hecho, el resultado resulta ser [math] 2S + 2Nk \ ln {2} [/ math], donde [math] N [/ math] es el número de partículas y [math] k [/ math] es el Constante de Boltzmann. Como podemos ver, esto se vuelve mucho más grande que [math] 2S [/ math] para [math] N [/ math] grande!

  Dicho de otra manera, como señaló Gibbs, la entropía de los gases no era extensa en el cuadro clásico. A diferencia de, digamos, masa, la entropía total del sistema mixto no es simplemente la suma de la entropía de los volúmenes de gas no mezclados.

  La resolución de esta paradoja, como ya se ha insinuado, es observar que el cuadro clásico no es totalmente válido; Debemos tratar las partículas como si fueran indistinguibles . Esto puede parecer trivial para usted, pero de hecho es un hecho relativamente profundo, resuelto en su totalidad solo por la teoría cuántica. Dividimos algo llamado la función de partición del sistema por un factor de [math] N! [/ Math], que corrige de manera efectiva nuestro conteo previo. De esta manera, la entropía de los gases mezclados se reduce a [math] 2S [/ math] para [math] N [/ math] (para [math] N [/ math] grandes, la entropía seguirá siendo un poquito más grande, por supuesto).

  La paradoja de Gibbs, además de varios otros hechos en termodinámica, ya apunta a la necesidad de principios de la mecánica cuántica. Por lo tanto, en un sentido muy indirecto, podríamos decir que Boltzmann y otros comenzaron el desarrollo de la mecánica cuántica.

• La paradoja de EPR. Al igual que en el video anterior, este también es un poco largo para una introducción para “laicos”, pero creo que esta paradoja está tan involucrada que merece más de 15 minutos para hacer una explicación cuidadosa y razonablemente completa.

Answer 20

¡El problema del cumpleaños!

Ya escribí esto como respuesta a otra pregunta, así que solo pegaré ese texto aquí.

El enunciado del problema es el siguiente: dado un conjunto de N personas, ¿cuál es la probabilidad de que algún par tenga el mismo cumpleaños?

* Esto es asumiendo que cada día del año es igual de probable para un cumpleaños *

Parece un resultado bastante sencillo que esta probabilidad alcanza el 100% cuando N (número de personas) cruza 365 (por el principio de Pigeonhole). Pero un resultado contraintuitivo interesante en este problema es que esta probabilidad cruza el 50% en 23 personas y alcanza el 99.9% en solo 70 personas .

La gráfica de la probabilidad frente al número de personas aumenta muy rápidamente por encima del 99.9%, aunque toca el 100% solo después de N = 365.