¿Qué significa aprender ‘conceptos’ matemáticos, en lugar de solo fórmulas, y cómo lo haces?

Answer 1

Aprender un concepto matemático significa entender el significado de la fórmula y la razón por la cual la fórmula es verdadera. Si lo hace, le permite resolver problemas más potentes.

Por ejemplo, tomemos la fórmula [math] x ^ 2-1 = (x + 1) (x-1) [/ math].

Si conoces la fórmula, podrías:

• Resuelve un problema que diga “Factor [math] x ^ 2-1 [/ math]”.
• En otro problema, cuando vea [math] x ^ 2-1 [/ math], reemplácelo con [math] (x + 1) (x-1) [/ math].
• Vaya en la otra dirección, reemplazando [math] (x + 1) (x-1) [/ math] con [math] x ^ 2-1 [/ math].

Todo esto se realiza mediante software como Mathematica o una calculadora TI-89.

Si entiende el significado de la fórmula, sabe que está diciendo que si reemplaza x con cualquier número, entonces [math] x ^ 2-1 [/ math] representará la misma cantidad que [math] (x + 1) (x-1) [/ math]. Deberias ser capaz de:

• Calcular rápidamente [math] 7001 \ cdot6999 [/ math]. Entiendes que la fórmula funciona para cualquier número en lugar de x. En particular, puede configurar x para que sea 7000. Desde
  [math] 7001 \ cdot6999 = (7000 + 1) \ cdot (7000-1), [/ math]
  puede aplicar la fórmula para ver que este número es igual a [math] 7000 ^ 2-1 [/ math], que es mucho más fácil de calcular: es
  [math] 49 \, 000 \, 000-1 = 48 \, 999 \, 999. [/ math]
• Factor [math] y ^ 4-1 [/ math]. Puedes reconocer que [math] y ^ 4 = (y ^ 2) ^ 2 [/ math]. Como entiendes el significado de las variables, sabes que, sin importar qué número y represente, puedes dejar que x represente ese número al cuadrado y aplicar la fórmula. Ves que
  [math] y ^ 4-1 = (y ^ 2 + 1) (y ^ 2-1). [/ math]
  Luego, notará que puede aplicar la fórmula nuevamente, esta vez con x que representa el mismo número que y, para encontrar esa
  [math] y ^ 4-1 = (y ^ 2 + 1) (y + 1) (y-1). [/ math]

Comprender el significado de una fórmula le permite aplicarlo en situaciones desconocidas en las que nunca ha recibido capacitación.

Si entiendes la razón por la cual la fórmula es verdadera, entonces puedes expandir
[matemáticas] (x + 1) (x-1) = x ^ 2 + xx-1 = x ^ 2-1. [/ math]
Entiendes que la fórmula funciona porque los términos x se cancelan. Sin ser enseñado explícitamente, usted podría:

• Factor [math] x ^ 2-9 [/ math]. Observa que el número 1 no tiene nada de especial en la razón por la cual la fórmula funciona, por lo que puede reemplazarlo con 3 para encontrar que [math] (x + 3) (x-3) = x ^ 2-9 [/ math ].
• Factor [math] x ^ 3-1 [/ math]. Este podría tomar más en cuenta, pero con la idea de que deberías intentar que se cancelen las cosas y un poco de prueba y error, podrías notar que el producto [matemáticas] (x ^ 2 + x + 1) (x-1) [ / math] también tiene términos que se cancelan muy bien para dar [math] x ^ 3-1 [/ math], según se desee.
• Factor [math] x ^ 2-2 [/ math]. Siguiendo el patrón, puede adivinar y verificar que [math] x ^ 2-2 = (x + \ sqrt2) (x- \ sqrt2) [/ math].
• Generalice para descubrir la diferencia de la fórmula de cuadrados [math] x ^ 2-y ^ 2 = (x + y) (xy) [/ math].
• Generalice para descubrir la fórmula [math] x ^ n-1 = (x ^ {n-1} + x ^ {n-2} + \ dotsb + x + 1) (x-1) [/ math].

Comprender la razón por la cual la fórmula es verdadera le permite modificarla para encontrar más hechos que sean verdaderos por razones similares.

Esta fórmula es un ejemplo más fácil, y probablemente ya entienda el significado y la razón detrás de esto. Para fórmulas y hechos más complicados, busque el mismo nivel de comprensión. Pregúntate a ti mismo: ¿Qué es esta fórmula tratando de comunicarse? ¿Por qué debería creerlo? No pares hasta que hayas encontrado respuestas.

---

En términos de recursos, recomendaré Art of Problem Solving (AoPS), para el cual enseño. Las clases son todo acerca de la comprensión conceptual y te ayudarán mucho, pero cuestan dinero. Lo mismo ocurre con los libros de texto. Los foros, sin embargo, son gratuitos, al igual que su sistema de aprendizaje en línea llamado Alcumus, que le da problemas para trabajar.

Incluso con los mejores recursos, el aprendizaje de conceptos requiere mucha práctica para resolver problemas. ¡Buena suerte!

Answer 2

Como mencionaste el cálculo, pensé que lo usaría como ejemplo.

Dos de los conceptos clave en el cálculo son derivados e integrales. Ambos conceptos tienen un aspecto puramente computacional. Por ejemplo, puede que te pregunten:

• Calcule la derivada de [math] \ sin (\ tan (\ frac {1} {1-x ^ 2})) [/ math].
• Integrar: [math] \ int \ frac {x ^ 2 + 4} {3x ^ 3 + 4x ^ 2-4x} dx [/ math].

En general, resolver este problema requiere que usted esté familiarizado con varias reglas y algoritmos. Es en gran parte un proceso sin sentido de seguir procedimientos, ocasionalmente con algún reconocimiento de patrones para identificar la estructura de una expresión.

Puede obtener más preguntas que se basan en las técnicas computacionales para resolver problemas, pero el proceso sigue siendo el mismo: debe comprender cómo convertir los problemas en fórmulas y ejecutar los cálculos necesarios. Por ejemplo:

• De todas las cajas con base cuadrada y área de superficie de 10 pies cuadrados, ¿cuál tiene el mayor volumen?
• Determine el área de la forma verde:

Esos problemas no son completamente puramente computacionales, porque necesitamos entender algo sobre la relación entre óptimos y derivados o áreas e integrales. Pero cuando los matemáticos hablan de “conceptos”, significan algo diferente, algo más profundo.

¿Qué es un derivado? ¿Qué hace, cuándo se aplica y por qué? ¿Todas las funciones tienen derivadas? ¿Qué es una “función”, de todos modos? ¿Qué tipo de cosas tiene un derivado? ¿Cuáles son las propiedades que tienen los derivados con respecto a otros aspectos de las funciones? ¿Qué tal las integrales?

Hay varias respuestas a esas preguntas, con diversos grados de sofisticación. Cuando empiezas a aprender estos conceptos en serio, rápidamente te encuentras con un tipo de problemas completamente diferente.

• ¿La función [math] x \ sin (1 / x) [/ math] tiene una derivada en [math] x = 0 [/ math]? ¿Qué hay de [math] x ^ 2 \ sin (1 / x) [/ math]?

Esto parece un problema puramente computacional, pero no es del todo. Resolverlo correctamente requiere una comprensión de la definición formal del derivado y la determinación de cuándo existen o no ciertos límites. Más arriba en la escalera conceptual, encontrarás cosas como estas:

• Probar o refutar: si [math] f (x) [/ math] es una función continua de valores reales, y [math] g (x) [/ math] tiene una derivada en [math] x = x_0 [/ math] , ¿debe la función [math] f (g (x)) [/ math] tener una derivada en [math] x = x_0 [/ math]? ¿Qué pasa si [math] f [/ math] es diferenciable?
• Demuestre que no está de acuerdo: si [math] f (x) [/ math] tiene una derivada en [math] x = 0 [/ math], entonces [math] g (x) = f (x) ^ 2 [/ mates]. Repita para [math] g (x) = \ sqrt {f (x)} [/ math] bajo el supuesto de que [math] f (x) \ geq 0 [/ math] para todos [math] x [/ math] .

Estos son problemas de diferente naturaleza. No te piden que encuentres o calcules , te piden que pruebes . En matemáticas, la comprensión conceptual de un tema está inexorablemente ligada a ser capaz de probar cosas al respecto, no solo de usarlo mecánicamente.

Si puede resolver los primeros problemas anteriores, puede usar derivados e integrales mecánicamente. Pero si puede definir qué es un derivado, o explicar la definición de una función integrable de Riemann, o probar el teorema del valor medio, o producir fácilmente ejemplos de funciones continuas que no son diferenciables en un punto, o funciones continuas que no son diferenciables En cualquier lugar, esas cosas significan que usted ha progresado más allá de los procedimientos mecánicos y está comenzando a tener una comprensión conceptual de los fundamentos del cálculo.

No conozco a Khan Academy lo suficiente como para saber si abarca conceptos, definiciones, teoremas y pruebas con alguna profundidad. Ni siquiera estoy seguro de si el currículo de la escuela secundaria lo requiere; Conozco a niños que lo hicieron realmente bien con el cálculo AP y tuvieron muchos problemas con un curso de primer año en el análisis real, porque aparentemente el cálculo AP no profundiza mucho en los conceptos y pruebas.

Entonces, dependiendo de tus objetivos, puedes o no necesitar realmente estudiar los conceptos, aunque soy el tipo de persona que alentaría a cualquiera a hacer eso. Ese es un viaje intelectual verdaderamente enriquecedor, a diferencia de los procedimientos mecánicos que llamamos “matemáticas de la escuela secundaria”.

Mi enfoque favorito para estudiar estas cosas en profundidad es a través de cursos universitarios, algunos de los cuales creo que ahora están disponibles en línea en lugares como Coursera y EdX (aquí hay un ejemplo de uno de estos cursos: Análisis Real, en particular las opciones B y C).

(Nota personal: parece haber una tendencia creciente en los cursos universitarios, incluso en las mejores universidades de los EE. UU., De ofrecer variantes que aparentemente se dirigen a ingenieros o especialidades de química, etc., quienes aparentemente son percibidos como seres menores, y en esas variantes se adhieren a los cálculos y procedimientos en lugar de pruebas. Esto me entristece sin fin.)

Por supuesto, también hay excelentes libros, pero en general advierto a las personas que el autoaprendizaje de las matemáticas basadas en pruebas es extremadamente difícil. No hay preguntas de opción múltiple acerca de las pruebas. No hay una forma mecanizada de revisar tu trabajo. Necesita que la gente lo revise, y si no los tiene, le será muy difícil reconocer si ha dominado o no el material.

Answer 3

Realmente no empecé a aprender “conceptos matemáticos” hasta mi curso de álgebra lineal de licenciatura. Tenía un profesor que estaba empeñado en asegurarse de que superáramos solo las memorizaciones de fórmulas (de las cuales hay muchas en el álgebra lineal si las quiere) y reconocí el poder de la álgebra lineal realmente generalizada y abstracta.

Para un ejemplo concreto, esto es lo que parece un buen curso de álgebra lineal de introducción:

• Comienzas hablando de vectores o matrices como listas de números o flechas en un plano. Esto viene de un ejemplo muy simple como la geometría de coordenadas o las finanzas. Aprendes qué manipulaciones útiles puedes hacer con los vectores.
• Luego te das cuenta de que todas las cosas útiles sobre los vectores suceden no porque sean listas de números, sino porque satisfacen un conjunto de reglas simples y abstractas. Empieza a volver a probar lo que ya sabía sobre vectores, pero sin pensar en su ejemplo original, solo las reglas simples.
• Entonces te das cuenta de que otras cosas que nunca habías notado antes también satisfacen las mismas reglas. Encuentra que puedes pensar en conjuntos de funciones exactamente de la misma manera que los vectores, o números primos, o conjuntos de ecuaciones diferenciales, o circuitos electrónicos.
• Ahora, cuando te encuentras con un tema aparentemente nuevo, puedes notar que en realidad solo es álgebra lineal nuevamente. De repente, el nuevo tema es familiar porque ya sabes álgebra lineal. Tiene un “concepto” de álgebra lineal y espacios vectoriales que puede usar una y otra vez. Vea mis comentarios sobre la respuesta de Rodrigo aquí (dada una matriz A, ¿hay una matriz B tal que la suma de cada columna y fila de B sea igual a la suma de cada columna y fila de A?) Para un ejemplo de cómo aparentemente problema de contabilidad no relacionado muy rápidamente se convierte en un problema de álgebra lineal.

---

Así que espero que te dé una idea del “qué”.

En cuanto al “cómo”, después de que este curso de álgebra lineal me dio un gusto por los “conceptos matemáticos”, tomé una clase muy útil que mi universidad ofreció llamada “Fundamentos de las Matemáticas”. Fue diseñado para ayudar a los estudiantes de transición de la “escuela secundaria” a pensar de manera matemática en cosas realmente poderosas.

El libro de texto que utilizamos fue Pruebas matemáticas: una transición a las matemáticas avanzadas: Gary Chartrand, Albert D. Polimeni, Ping Zhang. Salta de un tema a otro, centrándose en los conceptos y técnicas que son comunes a todas las áreas de las matemáticas. Cosas como la noción de un conjunto, la definición rigurosa de una función, las particiones de conjuntos, las técnicas de prueba, la lógica fundamental.

Si alguno de los cursos en mi educación de pregrado realmente cambió mi forma de pensar, fueron estos dos cursos de matemáticas (y el curso de teoría de grupos que tomé más adelante).

Answer 4

Bueno, para un ejemplo simple, ¿entiendes lo que estás haciendo cuando resuelves una ecuación? Pensemos en resolver algo como

3 x + 8 = 4

En otras palabras, queremos saber todos los números x, de modo que multiplicar x por tres y luego sumar ocho resultados en el número cuatro. Entonces supongamos que x es tal número. Dado que los números “tres veces x más ocho” y “cuatro” son el mismo número, también es el caso que

3 x = 4 – 8

Esto se debe a que, dado que cada lado de la ecuación representa el mismo número, si restamos ocho de este número, ambos lados de la ecuación resultante representan el mismo número.

Por supuesto, 4 – 8 = -4 , por lo que podemos reescribir la ecuación como

3 x = -4

Antes, utilizamos el hecho de que si dos números son iguales, el primero menos ocho es igual al otro menos ocho. Ahora, hagamos lo mismo, excepto que en lugar de restar ocho dividamos por tres:

x = -4/3

Como 3 x y -4 son el mismo número, también lo son ” 3 x dividido entre 3 ” y ” -4 dividido entre 3 “.

Ahora, dependiendo de tus antecedentes, algo así puede parecerte un poco simple, pero el punto es que todo en matemáticas tiene algún tipo de explicación en ese sentido. La mayoría de las personas a las que se les ha enseñado a resolver una ecuación pueden recordar que se supone que deben mover el ocho al otro lado y luego dividirse por tres, pero si no entienden lo que esto significa en realidad, puede hacer lo mismo. Cosa a ambos lados y termina con el mismo número en ambos lados porque originalmente ambos lados representaban el mismo número, luego se encontrarán con problemas en la línea cuando deben hacer algo donde no solo comienzan con una ecuación escrito.

Verá mucho a lo largo de estas líneas en un primer curso de cálculo: comienza por calcular una derivada o simplificando una expresión o algo, y dice: “Bien, ¿qué hacemos a continuación?” Muchos estudiantes sugerirán establecer la expresión en cero y resolver, tenga o no sentido en el contexto de la pregunta: acaban de ver muchos problemas de matemáticas donde lo primero que hace una vez que tiene una expresión simplificada es para que sea igual a cero y resuelva, y nunca han aprendido lo que realmente significa. (Lo que no es necesariamente su culpa, por cierto, dependiendo de cómo hayan sido sus clases de matemáticas anteriores).

Ahora, al tomar más matemáticas, el material se complica más que en el álgebra básica, por lo que no todo tendrá una explicación tan sencilla. Dicho esto, todo lo cubierto en la norma.

álgebra -> trig -> cálculo I – IV -> álgebra lineal -> introducción a ODE

la secuencia es lo suficientemente sencilla como para que, si está aprendiendo correctamente, su respuesta a casi todo en el curso sea “oh, por supuesto”, con tal vez un par de “oh, eso fue realmente inteligente” aquí. ahí. [1] Si sientes que tienes que memorizar un montón de cosas, o te olvidas de las cosas que acabas de terminar, es una señal de que no comprendes realmente el material: una vez que realmente entiendes algo, Descubrirás que lo recuerdas por el resto de tu vida sin ningún esfuerzo de tu parte.

---

[1] Con respecto a “oh, eso fue realmente inteligente”: por ejemplo, en una clase de cálculo a veces es necesario conocer los valores de ciertos límites para poder calcular los derivados, y en algunos casos hemos encontrado formas muy hábiles de calcular estos . La forma en que generalmente obtenemos el hecho de que

[math] \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin (x)} {x} = 1 [/ math],

por ejemplo, no es algo que inmediatamente se le ocurriría a alguien. Dicho esto, si sabes lo que es un derivado y un truco básico, entonces debería estar claro por qué queríamos calcularlo, y también que no habría una forma directa de calcularlo, por lo que al menos deberías poder ver. que va a tener que haber algún tipo de truco involucrado.

Answer 5

En un momento dado, mi hijo de cinco años podía decirte de manera confiable qué era tres veces cuatro, pero no podía decirte qué era cuatro veces tres.

Todavía no había aprendido el concepto de que el orden no era importante en la multiplicación.

Puedes enseñar ese concepto directamente o puedes intuirlo (“Imagina un rectángulo de puntos de tres largos y cuatro de ancho. Ahora dale la vuelta: todavía tiene el mismo número de puntos, ¿no?”) – o puede hacerlo memorizar por separado tres veces cuatro y cuatro veces tres, y esperar que lo descubra él mismo.

Personalmente, creo que para entender y recordar los conceptos, necesitas la explicación intuitiva. Pueden ser difíciles de pensar, difíciles de enseñar, y tienes que trabajar para entender a algunos de ellos. Pero vale la pena, porque una vez que obtenga una comprensión intuitiva de un concepto matemático, se quedará con usted.

Answer 6

El concepto al que se refieren se refiere a la metodología lógica detrás de cualquier problema / solución o prueba de Matemáticas. Estas son cosas muy pequeñas que se omiten la mayoría del tiempo, ya sea por los estudiantes o por los propios profesores. Para resolver cualquier problema matemático, debes hacerte estas preguntas e intentar obtener respuestas a ellas, de lo contrario no aprenderás el concepto:

¿Por qué hago esto o en qué parte de la vida puedo usarlo?

Por ejemplo, la diferenciación (no estoy seguro de si se te enseñó) a veces se vuelve complicada y no tienes idea de por qué demonios quieres hacerlas. Pero si profundiza, se dará cuenta de que las personas utilizan la diferenciación en diferentes campos de la ingeniería y las ciencias en los casos de uso como:

• Inteligencia artificial / Aprendizaje automático.
• Encontrar máximos / mínimos de cualquier función. La función puede ser de tipo

• Pérdida de beneficios
• Tasas del mercado de valores
• Tangentes y normales en la física.
• Costo
• …

Problema de física – cambio de tasa, etc.

Problemas de quimica

…

¿Cómo puedo entenderlo mejor?

La mejor manera de entender algo complejo es entender cómo se hizo en primer lugar. Einstein dijo con razón:
Entonces, enfócate en pequeñas cosas pequeñas como:

• Sistema de numeración
• Cálculo
• Álgebra
• Geometría
• Trigonometría

Y domínalos.

Answer 7

Alon Amit y Daniel McLaury dieron algunas respuestas agradables relacionadas con el cálculo y el álgebra. Daré un par de aritmética básica. La mayoría de nosotros aprendemos a agregar números de varios dígitos al alinearlos en columnas, sumar las columnas que comienzan con el extremo derecho y “cargar” cualquier dígito adicional a la siguiente columna. En las matemáticas de la escuela primaria tradicional, se diría que “sabe” cómo agregar números de varios dígitos si hubiera dominado este algoritmo y pudiera hacerlo de manera razonablemente rápida con una tasa de error muy baja. Por otro lado, si la atención se centrara en los conceptos matemáticos involucrados más que en el algoritmo, se le pedirá que responda preguntas como: “¿Por qué funciona este algoritmo?”, “¿Por qué no obtengo la respuesta correcta si ¿No alineo las columnas correctamente? “,” ¿Es este el único algoritmo que funcionará para agregar números de varios dígitos? Si no, ¿qué tienen en común todos esos algoritmos? “,” ¿Por qué están los ¿Reglas de alineación para agregar diferentes a las de la multiplicación? “Con un poco de reflexión, muchos adultos podrán encontrar respuestas para esas preguntas. Aquí hay otro ejemplo de una aritmética simple que es un poco más desafiante a nivel conceptual: el algoritmo lo que la mayoría de nosotros aprendemos para dividir dos fracciones es “voltear el segundo, luego multiplicar”. Es fácil. Funciona. Pero, ¿qué ? ¿Por qué debería multiplicarse por un recíproco lo mismo que dividir? ¿Y por qué damos la vuelta? ¿La segunda fracción en lugar de la primera? ¿Y por qué no voltear ambas? Para responder estas preguntas se requiere una buena comprensión de los conceptos detrás de las razones, la notación fraccionaria, la multiplicación y la división.

Una opinión personal: “Comprender los conceptos matemáticos” no es tanto una cuestión de construir una colección de conceptos que haya memorizado o comprendido. Estoy más inclinado a pensar que tiene que ver con desarrollar el hábito de hacer preguntas como las anteriores y luego explorar y practicar formas de encontrar las respuestas. Hay muchas maneras de comenzar con esto, pero como he mencionado en otras respuestas, una buena manera es revisar el trabajo de Martin Gardner, a través de la búsqueda en línea o en su librería local.

Answer 8

La mejor respuesta que se me ocurre es un cuestionario que mi profesor de matemáticas discreta nos dio:

Examen sorpresa

Saca un pedazo de papel. Escriba su nombre y la respuesta a esta pregunta: “¿Cuál es la definición de [math] \ binom {n} {k} [/ math]?”

Si su respuesta es algo como “[math] \ binom {n} {k} [/ math] es el número de formas de elegir [math] k [/ math] de un conjunto de tamaño [math] n [/ math ], sin tener en cuenta el orden “, dése 10 puntos de 10.

Si su respuesta es algo como “[math] \ binom {n} {k} = \ frac {n!} {K! (Nk)!} [/ Math]”, dése 5 puntos de los 10. Ha dado Una fórmula, no una definición.

Aquí termina la prueba de pop. Recibí 5 puntos de 10 y me iluminé.

Poner en práctica la distinción.

Considere esta formulación del teorema binomial:

[math] (a + b) ^ n = \ binom {n} {0} a ^ nb ^ 0 + \ binom {n} {1} a ^ {n-1} b ^ 1 + \ cdots [/ math]

¿Puedes usar la definición de [math] \ binom {n} {k} [/ math] para explicar por qué esto es cierto?

Intenta hacer lo mismo para la identidad de Pascal:

Para [math] 1 \ leq k \ leq n-1 [/ math], [math] \ binom {n} {k} = \ binom {n-1} {k} + \ binom {n-1} {k -1} [/ math]

Answer 9

Algunas personas dicen que las matemáticas son un lenguaje. Sin discutir sobre esa declaración, permítanos llevarlo más lejos en el contexto de su pregunta. ¿Cómo se aprenden los conceptos en un lenguaje, los significados de las nuevas palabras? Ocasionalmente, uno los buscará en un diccionario, pero lo más frecuente es que los entendamos desde el contexto. Para cosas más complejas como frases, metáforas, etc., uno solo los entenderá leyendo mucho … y tratando de usarlos por cuenta propia.

Esto también es cierto acerca de las matemáticas. Leer matemáticas y hacer tus propios cálculos es una de las mejores maneras de aprender los conceptos detrás de los cálculos matemáticos. Como se supone que Gauss dijo: no hay un camino real hacia las Matemáticas, no hay atajos. Si ha caminado a través de los bosques y matorrales y sobre las montañas, y aún siente que necesita aprender más, ¡solo necesita hacerlo de nuevo!

Answer 10

Para mí no es simplemente una noción binaria de “concepto” significativo frente a una “fórmula” relativamente sin sentido. Más bien es una noción de niveles múltiples de comprensión cada vez más profunda. Los niveles en sí mismos pueden incluso formar una jerarquía de ramificación en lugar de ser simplemente lineales.

Un ejemplo de una jerarquía para la noción matemática de “número” podría ser:

• Contando como todos aprendemos antes incluso de ir a la escuela
• Adición y sustracción
• Multiplicación
• División y fracciones
• Rama a Anillos y Campos
• Rama a polinomios
• Rama a límites

Y así sucesivamente, indefinidamente.

Al seguir esas ramas, se encontrará con la noción de Números Complejos como el cierre algebraico de los Números Reales que, a su vez, son una representación esencialmente única de la recta numérica. También encontrarás números surrealistas. y una generalización de números llamada Juegos . También encontrarás objetos finitos que tienen algunas, pero no todas, de lo que normalmente serían las propiedades de los números. Y esto es solo arañar la superficie.

Al explorar esta jerarquía de bifurcaciones, el concepto de “número” y las operaciones asociadas de suma, multiplicación, exponenciación, etc. se vuelven cada vez más ricas. Las fórmulas para multiplicar fracciones y multiplicar números complejos, que pueden verse como pares de otros números, tienen similitudes y diferencias interesantes. Comienzas a interesarte en lo que es posible con otra definición de multiplicación, y así sucesivamente.

Mi regla de oro es que si realmente quieres entender algo, debes apreciarlo en algún “siguiente nivel” en alguna jerarquía. Esto se aplica a cualquier tema con profundidad, no solo a las matemáticas. Para disfrutar realmente de un buen vino hay muchos niveles más allá de “rojo” versus “blanco”.

Answer 11

Según mi experiencia, hay algunos libros que te ayudarán a comprender mejor las matemáticas.

1. ¿Qué es la matemática? por R. Courant y H. Robbins
Este libro le dará una breve historia sobre qué son las matemáticas y qué es lo que nos beneficia. etc.

2. Como resolverlo por G Polya.
En este libro, obtendrá una explicación sobre cómo resolver un problema de matemáticas con el método de polya. Esa es solo una palabra para obligarte a encontrar otra forma y pensar más crítica y no aceptar algo sin probar, si entiendes lo que significa polya, siempre recordarás automáticamente lo que significa.

3. Colección de “Matemáticas para el auto estudio” incluyendo:
– (Aritmética, álgebra, trigonometría, cálculo) para el hombre práctico por je.thompson
* El ganador del Premio Nobel Richar feynman y el brillante solucionador de problemas usaron este libro y se enseñaron a sí mismo con este libro.

Este libro le dará el concepto básico de las matemáticas, incluidas las pruebas.

Y si necesitas una historia refrescante sobre la belleza de las matemáticas, puedes necesitar esto.
4. Matemáticas Una introducción muy corta por Timothy Gowers
5. Cartas a un joven matemático (Arte de la tutoría) por Ian Stewart.
6. El hombre que amaba solo el número de Paul Hoffman.

* todo el material que puedes encontrar buscando en google peace * peace

Espero que esto te ayudará.

Gracias. 🙂

Answer 12

No sé cómo entender conceptos, pero puedo darte un gran consejo:

Si algún concepto matemático no tiene sentido para ti, ¡ puedes ignorarlo! Cuando un maestro me presentó el concepto de “infinitesimal”, recuerdo lo estúpido que pensé que era. Pensé que era débil, ilógico y tonto, pero claro que cerré la boca, ya que aparentemente este concepto era tan ubicuo, el “gran” Newton lo desarrolló y dio los resultados correctos. Nunca podría envolver mi mente en torno a afirmaciones como “los infinitesinales son números menores que cualquier número positivo y, sin embargo, diferentes a cero”. Honestamente, pensé que era algo místico o un gibberish pseudo-intelectual.

Sin embargo, seguí leyendo y buscando, descubrí que muchos matemáticos que trabajaban, pasados ​​y presentes, no estaban a gusto con el concepto y luego leí sobre los límites, la definición de épsilon-delta, entre otras cosas, y la niebla desapareció. Estos últimos conceptos realmente me gustaron y “entendí”.

Espero haber transmitido el mensaje. Los conceptos matemáticos son creaciones de seres humanos que luchan por entender / modelar la Naturaleza o crear Matemáticas por el bien de las Matemáticas: no son genios, ni sobrehumanos, ni nada, y el hecho de que una herramienta o concepto matemático no te suene. no significa que seas tonto, intelectualmente débil o así de pequeño. No tienes la obligación de comprender ciertos conceptos matemáticos de la misma manera que no te tiene que gustar la música. Al 90% de las personas les gusta. Al igual que el arte, encontrarás que las matemáticas son una creación humana y puedes encontrar algunas creaciones de personas que no son susceptibles a tu gusto. ¡Pero presta atención !: no es que estas otras personas y sus conceptos estén “equivocados”, sino que simplemente no puedes relacionarte con ellos, lo cual está bien.

Así que adelante y disfruta de las matemáticas. Encuentra conceptos con los que puedas relacionarte y explóralos. Los que no cavas, recuerda que no tienes que hacerlo. Y lo más importante (y lo más difícil de todo) ¡crea tus propias ideas!

Answer 13

No conozco un buen libro para volver a aprender matemática de una manera conceptual. De hecho, comencé a escribir un libro así (ostensiblemente dirigido a niños), pero no pude descifrar qué quería que fuera y desapareció.

La mejor manera de proceder probablemente depende de exactamente lo que quiere aprender. Si es cálculo, podría haber un libro para ti. Si son fracciones, no estoy seguro.

Pero para responder a la pregunta sobre lo que significa : generalmente significa que entiendes por qué funciona la matemática, en lugar de solo pensarlo como un conjunto de manipulaciones sin sentido. Esto le permite recordarlo, desarrollarlo y aplicarlo a nuevas situaciones.

Creo que la mayoría de las personas comienzan a entender las matemáticas conceptualmente cuando las aplican a un área temática que les importa más directamente: (física, deportes, programación, lo que sea). Si está interesado en un área temática en particular que involucra matemáticas, tal vez podría comenzar a profundizar en por qué funciona en esa área.

Podría ser útil decir un poco más sobre qué tipo de cosas le gustaría aprender de una manera conceptual: hay algunas personas aquí (Alon Amit en particular) que probablemente podrían ser muy útiles.

Answer 14

Buen extracto del libro ‘Amor y Matemáticas’. (por Edward Frenkel) esforzándose por compartir el aspecto conceptual de lo que realmente implica la matemática. Realmente implica, es decir, a diferencia de cómo a menudo se enseña en la escuela secundaria, por ejemplo. Aquí hay una gran analogía que él usa. Para mí, esto enfatiza la diferencia entre manipular ecuaciones y visceralmente “obtenerlas”:

¿Qué pasaría si en la escuela tuvieras que tomar una “clase de arte” en la que solo te enseñaron a pintar una cerca? ¿Qué pasa si nunca te mostraron las pinturas de Leonardo da Vinci y Picasso? ¿Eso te haría apreciar el arte? ¿Te gustaría aprender más sobre esto? Lo dudo. Probablemente dirías algo como esto: “Aprender arte en la escuela fue una pérdida de tiempo. Si alguna vez necesito pintar mi cerca, contrataré personas para que hagan esto por mí “. Por supuesto, esto suena ridículo, pero así es como se enseñan las matemáticas, … (del amor y las matemáticas)

Answer 15

Parece que ya tienes la motivación para aprender conceptos y otros te han dado buenas respuestas sobre lo que significaría hacerlo. Me centraré en cómo podrías empezar a aprender realmente:

Creo que los axiomas de campo para los números reales son un buen lugar para comenzar, especialmente si quieres entender mejor el álgebra. Los axiomas de campo le muestran cómo todas esas reglas y operaciones de aritmética / álgebra aleatorias que aprendió de memoria están realmente conectadas de manera hermosa y sistemática.

Por ejemplo, un axioma define cómo funciona el cero: [math] x + 0 = x [/ math] para cada número real [math] x [/ math]. Otro axioma define la existencia de números negativos por referencia a este número especial cero: para cada número real [math] x [/ math] existe otro número real [math] y [/ math] tal que [math] x + y = 0 [/mates]. Tenga en cuenta que esta declaración es todo lo que necesitamos para entender los números negativos. Más tarde, “descubrimos” la operación de la resta como un teorema; es simplemente la suma utilizando los números negativos que acabamos de definir.

Para mí, aprender los axiomas de campo fue una revelación sobre cómo funciona realmente el pensamiento matemático. También fue la primera vez que entendí “reglas”, ya que el producto de dos negativos es positivo y la división por cero no está definida. Creo firmemente que todos se beneficiarían de trabajar con lo que se puede desarrollar utilizando los axiomas de campo.

---

¿Qué recursos puedes usar? El Cálculo Vol. I de Apostol y el Cálculo de Spivak tienen muy buenos primeros capítulos que trabajan a través de los axiomas de campo. La de Apostol es un poco más suave, pero la de Spivak tiene un libro de respuestas útil para el autoestudio. Puede que te encuentres estancado cuando los ejercicios te pidan que pruebes cosas. Si es así, Velleman’s Cómo demostrarlo Valdría la pena dedicar tiempo a aprender a trabajar y pensar en las pruebas.

Answer 16

Esta es otra pregunta donde el comentario de VI Arnold es apropiado, pero donde dijo “pruebas”, diré “fórmulas”. Luego la cita dice: “Las fórmulas son para las matemáticas, como la ortografía es para la poesía”. Si no reconoces cómo se deletrean las palabras, entonces no puedes leer poesía, pero la poesía definitivamente no está en la ortografía. No hay libros, cursos escolares o academias de Khan sobre poesía sin palabras. Así que no hay libros ni cursos escolares o academias Khan sobre matemáticas sin fórmulas. Pero las matemáticas están en lo que describen las fórmulas, no en las fórmulas. Aprendes el significado de las palabras usándolas una y otra vez de muchas maneras diferentes. Es lo mismo con las fórmulas. Cuando las fórmulas se han convertido en una segunda naturaleza que las tienes en tu mente sin siquiera darte cuenta, entonces las matemáticas están al alcance.

Answer 17

Soy parte de un equipo que acaba de lanzar un canal de YouTube OxMath Tutorials exactamente para este propósito. Después de haber enseñado matemáticas en las escuelas y centros de educación adicional, me sorprende la cantidad de personas que siguen ciegamente las reglas y usan las fórmulas sin comprender lo que están haciendo. También me ha sorprendido el bajo nivel de comprensión de algunos maestros de matemáticas, especialmente ahora que las escuelas a menudo se ven obligadas a contratar maestros de educación física (u otros no especialistas) para enseñar matemáticas. Con demasiada frecuencia, las escuelas enseñan a aprobar exámenes y pierden la parte de entender realmente las matemáticas.

El canal es completamente gratuito y las lecciones tienen como objetivo proporcionar explicaciones detalladas que desarrollen la comprensión de la teoría subyacente en lugar de enseñar métodos de memoria. La descripción debajo de cada video le permite saltar a ciertas partes de la lección y enumera los enlaces a otras lecciones relevantes. Esto significa que puede volver a desarrollar la comprensión de los temas anteriores si es necesario o puede continuar con el siguiente paso.

Como el canal se lanzó recientemente, aún no es exhaustivo en todos los temas, pero los videos nuevos se suben con frecuencia y el objetivo es tener un conjunto completo de videos que cubran todos los temas de matemáticas en todos los niveles, desde el número básico hasta el grado básico. Estamos dispuestos a aceptar solicitudes de lecciones específicas o responder a consultas si realiza comentarios debajo de los videos.

Creemos firmemente que cualquiera puede aprender matemáticas y que a algunas personas simplemente les resulta más difícil aprender o requieren más tiempo para aprender. Sin embargo, con la comprensión correcta y el tiempo para trabajar a su propio ritmo, las matemáticas no deberían tener límites.

Si encuentra útil el canal, por favor, comparta para que todos puedan beneficiarse de un recurso gratuito que tiene como objetivo enseñar conceptos en lugar de solo fórmulas.

Tutoriales OxMath

Answer 18

Mi hijo usa ALEKS, IXL Math y TenMarks en línea. Todos tienen ventajas y desventajas, pero entre esos programas y videos de YouTube que a veces pueden explicar las cosas con más detalle, lo está haciendo bastante bien.

Answer 19

Entiendo muy bien los conceptos matemáticos, mientras que mis maestros están enseñando en lugar de memorizar las fórmulas en la pizarra, trato de juntarlos y entender por qué haces cada paso y haces que tenga sentido, esto va para todas las clases, por ejemplo, bio, en lugar de memorizando partes de la celda, trate de entender cómo funciona la celda completa como una fábrica y recorra toda la línea de producción para entender la celda completa, no solo los orgánulos (utilicé esto como un ejemplo porque tendría más sentido que si lo intentara para explicar un ejemplo de matematicas)

Answer 20

Este no es mi tema más fuerte, pero recibo lo que me estás preguntando.

La matemática tal como me fue enseñada la mayor parte de mi vida es un resumen para memorizar fórmulas y teorías para memorizar un poema, es a2 = b2 + c2 solo porque es así.

Pero la matemática es un concepto lógico que está representado por números, símbolos, etc. Por lo tanto, una fórmula es solo un concepto lógico que, una vez que se aprende y se comprende, se puede manipular a voluntad.

Un ejemplo fácil, sumas, puedes entender el concepto de suma para que puedas hacer algo tan fácil como 1 + 1 = 2, o algo así: 3.14 + 4 + .59 + 1/2 = 8.23 ​​que digamos es No es tan difícil, ¿por qué? Porque entiendes el concepto, así puedes hacer cualquier suma que desees, esa es la idea de aprender un concepto en lugar de aprender la fórmula.

Espero que esto ayude.