Esta es una gran pregunta, y Jay Wacker ya ha dado una gran respuesta. Brindaré una respuesta más desde una perspectiva matemática, más que desde una perspectiva física (espero que no sea demasiado técnica y coloque un resumen al final). Al hacerlo, surgirá otra pregunta y, ciertamente, me encantaría que alguien me diera una idea.
Para empezar, permítanme repetir que la descripción de Jay es genial. Estos diagramas nos dan un sentido intuitivo de lo que están haciendo las partículas, así como un algoritmo directo (aunque tedioso) para calcular las cantidades físicas de interés. Pero ¿de dónde vienen realmente? Es decir, ¿cómo hacen las personas para asignar estas reglas a estos diagramas y cómo sabemos que funcionan?
La historia comienza con la generación funcional para una teoría de campo cuántica particular (QFT). En particular, puede recordar que Feynman nos dice que debemos “sumar todos los caminos posibles” que puede tomar una partícula o campo. El generador funcional es un objeto que contiene toda la información física de un QFT dado, y tiene “integrado” una integral en el espacio de todas las configuraciones de campo (el equivalente teórico de campo de una “suma sobre todos los caminos”) . Ahora supongamos que queremos preguntar “¿cuál es la probabilidad de que se produzca un proceso de dispersión de n partículas?”. La respuesta a esta pregunta se resuelve encontrando la función Green de n puntos de la teoría (con algunas advertencias pequeñas), y encontrar esta función solo requiere golpear el generador funcional con n derivadas funcionales y evaluar la integral. Parece que ya lo tenemos todo resuelto, ya que lo que nos preocupa son los procesos de dispersión como estos.
El problema es que la integral que tendríamos que evaluar, que se encuentra en el espacio de todas las configuraciones de campo, es monstruosamente difícil (y con frecuencia ni siquiera está bien definida). De hecho, el único tipo de integral que podemos resolver exactamente es el que proviene de la teoría libre, lo que significa que las partículas no interactúan entre sí en absoluto. Es decir, solo podemos resolver exactamente la teoría más aburrida posible. Pero la esperanza no se pierde, porque podemos resolver teorías más interesantes mediante el uso de la teoría de la perturbación, lo que simplemente significa tomar la teoría libre y “agregarle” pequeñas interacciones, luego agregar esas interacciones más pequeñas interacciones, y así sucesivamente, hasta que sean más grandes Las interacciones son “construidas”.
Esto finalmente nos lleva a donde entran los diagramas de Feynman. Son esencialmente manuales de instrucciones para construir estas interacciones cada vez más grandes. Primero resolvemos los diagramas que no tienen vértices, que no corresponden a interacciones que tienen lugar, luego resolvemos aquellos con 1 vértice, para las interacciones más pequeñas, luego 2 vértices, luego 3, y así sucesivamente. Los diagramas rápidamente se vuelven muy complicados y difíciles de resolver, y hay toda una industria de personas trabajando en estos temas. Además, las reglas para estos diagramas, sus formas exactas y el “orden de la perturbación” a la que pertenecen (es decir, que más vértices corresponden a una mayor interacción, etc.), se derivan de manera relativamente rigurosa del generador funcional (es decir, , la acción de la teoría, es decir, el lagrangiano de la teoría). Nos enfrentamos a una integral que no podemos resolver (básicamente una exponencial realmente difícil) y por eso la dividimos en una suma infinita de términos que podemos resolver individualmente. Cada diagrama tiene un término correspondiente, y de ahí provienen las reglas.
Entonces, para resumir, cualquier (la mayoría) QFT (s) tiene un Lagrangiano, que usamos para describir lo que se llama la acción de la teoría, que luego usamos para anotar un generador funcional para cantidades de interés. Para obtener las cantidades de interés, necesitamos resolver ciertas integrales que provienen de la generación funcional. Estas integrales son demasiado difíciles de hacer exactamente, pero podemos resolverlas “orden por orden”. Cada orden tiene muchos términos diferentes, y cada uno de estos términos está representado por un diagrama, donde las reglas del diagrama simplemente provienen de la forma matemática del término correspondiente en la integral original que no podemos resolver. Entonces, la “imagen más grande” en la que puedo pensar es que los diagramas de Feynman existen porque muchas integrales más fáciles son mejores que una integral realmente difícil.
Y ahora esto me lleva a mi propia pregunta, por lo que tenemos la garantía de poner tanta confianza detrás de esta técnica perturbadora de resolver estas integrales que realmente podemos ver estos procesos como “realmente sucediendo”. Estos diagramas simplemente representan varios términos en una ecuación que no podemos resolver exactamente, por lo que no entiendo por qué estamos justificados al decir que estos son fragmentos de procesos que realmente tienen lugar. Es de suponer que eventualmente podríamos encontrar una manera de resolver las integrales, o un formalismo diferente que no requiera estas integrales. ¿Veríamos entonces que estos procesos no están sucediendo realmente? (Algunas personas incluso ven a los fantasmas como “realmente existentes”, lo que para mí es absolutamente loco (y, por cierto, estos no son los fantasmas en su ático, sino el nombre de un cierto tipo de “partícula” que “surge” en varios cálculos)).
Esto muestra una posible forma en que se crea el modelo estándar de Higgs y luego se descompone. Un par de gluones produce un par de quarks top, estos dos quarks top se combinan para formar un bosón de Higgs, luego el bosón de Higgs se desintegra en bosones vectoriales W + W-. Los diagramas de Feynman simplemente le permiten hablar sobre procesos cuánticos en palabras relativamente simples y estas palabras son matemáticamente precisas. 
Este es el conjunto completo de diagramas de Feynman para e + e- a pares de quarks top más un bosón de Higgs y un fotón. Realmente no sé por qué agregaría el fotón, hace que el proceso sea un factor de 1/1000 menos común que el proceso sin el fotón, pero eso es lo que encontré en Google rápidamente. Así que escribes todos estos diagramas, los conviertes en expresiones numéricas, y luego los sumas, los cuadras y luego los integras en el espacio de fase, ¡y listo! tienes una respuesta Este cálculo específico estaría en el límite de lo que es razonable hacer con el lápiz y el papel y habría sido una tesis de posgrado de principios a mediados de la década de 1990, pero se tarda aproximadamente una hora en una computadora de escritorio.