Para responder a esta pregunta, primero me referiré a “¿Qué es la intuición en Matemáticas?”
La intuición en matemáticas es poder pensar en un punto alejado de la solución, solo con mirar la declaración del problema por unos momentos. Ahora, ¿cómo desarrollas esta habilidad? Si tiene una intuición falsa, obtendrá las respuestas incorrectas y sus calificaciones en el examen se reducirán. Por ejemplo, si a, b y c están en GP, entonces log a, log b y log c están en ______. Rellena el espacio en blanco. La respuesta está en AP. Cuando tomas el registro de términos de un médico de cabecera, obtienes un AP. Pero hay una prueba de eso, y recuerdo al menos algunas pruebas de eso, en un momento dado.
Una forma de demostrarlo sería que si b / a = constante, luego log b – log a = alguna constante (por ejemplo, k1), (tomando log en ambos lados). Pero c / b = la misma constante, luego registre c – log b = la misma constante (es decir, k1). Hay otras pruebas de lo mismo, principalmente en los libros de tipo KC Sinha o ML Khanna. Asumen, [math] a = AR ^ {n-1} [/ math], [math] b = AR ^ {n} [/ math] y [math] c = AR ^ {n + 1} [/ math ].
Tomando los 3 registros, obtenemos, registro a = registro A + (n-1) registro R, registro b = registro A + nlog R y registro c = registro A + (n + 1) .log R
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Claramente aquí, log b – log a = log c – log b = log R
Entonces, log a, log b y log c están claramente en AP.
Mi punto es que recuerdo las pruebas de estas cosas de una manera compacta. Cada vez que resuelvo un problema así, recuerdo la prueba y llego a la solución. No he memorizado ninguno de los resultados. Es matemáticas, por lo que acabo de recordar. Ahora, no recuerdo vívidamente, qué variables utilizó el autor para probar el resultado. Solo recuerdo que la prueba fue algo similar. Eso es.
El genio y, en su caso, la intuición viene de ir rápidamente de un punto a otro en la solución. Hay que buscar el camino corto a todo. Un problema que se resolvió en Quora fue la integración, [math] \ sqrt {\ tan x} [/ math]. Recordé la solución de un libro, pero no muy bien. Ejercité mi cerebro y luego recordé qué solución era. Escriba [math] \ sqrt {\ tan x} [/ math] como [math] \ sqrt {\ frac {\ sin x} {\ cos x}} [/ math]. Pero el problema no se vuelve más fácil con eso. Da el siguiente paso. Escribe [math] \ sqrt {\ frac {\ sin x} {\ cos x}} [/ math] como [math] \ frac {\ sin x} {\ sqrt {\ sin x \ cos x }}[/mates]. Si haces esto, llegarás a la solución más rápido. Observe que (y debe pensarlo rápidamente, si no instantáneamente) el pecado x se puede dividir en [math] (\ sin x + \ cos x) + (\ sin x – \ cos x) [/ math]. Además (y este es un problema difícil, por lo que tiene muchos pasos cruciales), sin x cos x se puede escribir como [math] (1 – (sin x – cos x) ^ 2) [/ math] o como [math] ((sin x + cos x) ^ 2 – 1) [/ math] (He ignorado muchos términos constantes aquí en aras de la brevedad). Entonces, después de todo esto, si hay [math] (\ sin x + \ cos x) [/ math] en el numerador, rompe el denominador como [math] (1 – (sin x – cos x) ^ 2) [ / math], ya que la derivada de (sin x – cos x) es (cos x + sin x) que va en la parte superior. Si hay [math] (\ sin x – \ cos x) [/ math] en el numerador, divida el denominador como [math] ((sin x + cos x) ^ 2 – 1) [/ math], ya que la derivada de sin x + cos x es cos x – sinx = -1 * (sin x – cos x), que va en el numerador.
Entonces, la clave para la intuición es qué tan rápido puede ir de un punto en la solución a (no el siguiente pero) otro punto lejano. Eso viene con la experiencia y la familiaridad con los números y las variables. Incluso no siempre sé la solución más corta a todos los problemas. A veces tengo que adivinar. Pero te irás mejorando con el tiempo. Sólo sigue practicando. Como dije antes, no necesita ser Einstein para borrar el JEE.
Edición 1: aparte de mi respuesta, lea este excelente mensaje de Alexander Farrugia sobre la necesidad de entender las pruebas en Matemáticas. ¿Son los matemáticos masoquistas porque aman la carga de la prueba?