¿Qué matemáticas necesito para aprender la prueba de que todas las funciones pueden escribirse como una suma de sinusoides?

Answer 1

¡Todas las funciones repetitivas y continuas! Un pequeño detalle importante.

No puedo darte la prueba matemática, pero como una demostración práctica, enciende una radio y sintoniza el dial. Justo aquí, cuando estás sintonizado a 830, WCCO, la radio está ingresando sinusoides de pecado (2 * pi * 830000 * t), (además de un poco de frecuencias adyacentes también). Así que 830,000 ondas sinusoidales de Hertz están golpeando la antena. Al mismo tiempo, las ondas sinusoidales de todas las demás estaciones de AM cercanas, 1,500, 630, 990, 950, 1130 y 1280 KHz golpean la antena, y todas están conectadas en un solo cable, todo sumado algebraicamente como voltaje. Cada estación emite una “función” diferente, un operador en su frecuencia autorizada, más señales moduladas de banda lateral en frecuencias adyacentes cercanas. La señal en un osciloscopio se ve así, que cumple con su requisito de “todas las funciones”:

Esa es una señal con una portadora modulada por el habla, como se puede ver que es una función muy compleja, pero definitivamente se puede representar como la suma de sinusoides, incluso hay dispositivos llamados “analizadores de espectro” que muestran una vista de amplitud en función de la frecuencia:

Answer 2

Un corolario del teorema de Stone-Weierstrass para C (Ser autoadjunto es la suposición adicional) es que existe una secuencia de polinomios trigonométricos que convergen de manera uniforme en cualquier función continua dada f. Esto no es válido para funciones discontinuas, ya que la convergencia uniforme preserva la continuidad. Para la convergencia puntual, no creo que sea válido para todas las funciones de [-pi, pi] a R.

Edición: no es válido para la convergencia puntual. Un argumento basado en la cardinalidad funciona. Si hay una secuencia de funciones continuas que convergen a una función dada que mapea [-pi, pi] en R, entonces, como una secuencia convergente converge a un límite único, esto daría un mapa (conjunto) suryectivo del conjunto de todos secuencias de funciones continuas al conjunto de todas las funciones que mapean [-pi, pi] a R. La cardinalidad del primer conjunto es | N | * | R | = | R | pero el segundo es | 2 ^ R |. Un mapa suryectivo muestra que | R | ≥ | 2 ^ R |, lo que contradice el teorema de Cantor.

Answer 3

En primer lugar, me disculpo por la mala composición, pero estoy en mi teléfono. Cuando pueda, lo haré correctamente.

Construir una serie de Fourier es el primer paso para una transformada de Fourier. El primero es un caso discreto, mientras que el segundo implica tomar un límite para convertir un conjunto de puntos en una curva continua, que es un patrón común en las matemáticas.

Series de Fourier:

1. Tome una función acotada arbitraria f con un número finito de discontinuidades, tal vez sea una forma de onda musical o la evolución de un precio por acción contra el tiempo. Esto es lo que queremos romper en ‘tonos puros’. Para una serie de Fourier debemos elegir un intervalo finito para esto, digamos [-L, L]. La representación de la serie es como f en este intervalo pero fuera de ella se repite con el período 2L.
2. Ahora observa que la integral sobre [-π, π] de sin (nπt) × sin (mπt) = cos (nπt) × sin (nπt) = π si n = m y 0 de lo contrario. También tenga en cuenta que la integral de cos (nπt) × sin (mπt) es siempre cero. Si conoce álgebra lineal, podemos decir que cos (nπt) / π y sen (nπt) / π forman una base ortonormal de las funciones f anteriores, con respecto al producto interno como una integral sobre [-π, π].
3. Lo que sigue es una proyección de f sobre esta base, pero hacemos un cambio de coordenada para que la base sea sin (nπt / L) / L y cos (nπt / L) sobre [-L, L]. Esto significa

1. f (t) = a_0 + [suma] (a_n × cos (nπt / L) + b_n × sin (nπt / L))

Al igual que con un vector, si desea que el componente x de v tome x = [1 0 0] v, entonces a_n = f (t) • cos (nπt / L) / L y lo mismo para b_n, donde • se entiende que Ser la integral sobre [-L, L]. a_0 = f (t) • 1 / 2L.

Ahora, si extiende L hasta el infinito, puede representar la función completamente como un continuo de frecuencias w, donde el proceso limitante transforma nπ / L -> w. En particular, ∆w = π / L, por lo que, en el límite, se convierte en infinitesimal y aparece una suma integrable. Dejaré esto como un ejercicio para el lector.

Answer 4

Comprender y utilizar las series de Fourier y las transformadas de Fourier solo requiere un poco de trigonometría y cálculo.

La convergencia de las series de Fourier es un tema más complicado. Probablemente ayudaría tener un curso o dos en análisis para comprender conceptos como espacios de funciones, lo que significa ser L ^ 2, etc.

Es posible que pueda encontrar un tratamiento del tema que restrinja los supuestos sobre las funciones lo suficiente como para proporcionar una prueba (relativamente) simple de convergencia. Una búsqueda superficial en Google no dio con una.

Answer 5

Si conoce el cálculo y la trigonometría, entonces es relativamente sencillo demostrar que cualquier función periódica puede escribirse como una suma de sinusoides.

La transformada de Fourier se basa en que el período de una función se extienda hasta el infinito en el límite.

Answer 6

Desafortunadamente, tampoco conozco la prueba de la parte superior de mi cabeza, pero es bastante simple. Mi profesor diferencial nos lo mostró usando un poco de álgebra lineal. Sospecho que eso es todo lo que necesitas.

Cheerd