¿Por qué debería ser uniforme la función de onda del estado fundamental para los potenciales simétricos?

Answer 1

La respuesta corta es que el estado fundamental no necesita ser ni siquiera para el potencial simétrico. Depende de si el sistema cuántico de nuestro interés tiene degeneración o no. De hecho, las transiciones de fase solo son posibles cuando el estado fundamental rompe la simetría del potencial. Esto es lo que se llama “ruptura espontánea de simetría”.
Bien, aquí está la respuesta larga …
Dado que el potencial es simétrico, los operadores hamiltonianos (H) y de paridad conmutan. Esto significa que existe una base eigen común en la que ambos operadores se diagonalizan. Ahora, lo importante es darse cuenta de que si hay una degeneración, este teorema nos da una opción: es posible que no elija utilizar esta base propia “agradable” común. Intentemos entender este punto tomando un ejemplo de partícula cuántica bajo SHM y potencial libre (V = 0).
Para la partícula cuántica SHM, no hay degeneración, por lo que el estado fundamental obedece al operador de paridad. Pero para una partícula libre, las ondas de izquierda y derecha son de la misma energía, es decir, [math] e ^ {ikx} [/ math] y [math] e ^ {- ikx} [/ math] son ​​estados degenerados. Estos estados no obedecen a la paridad. Sin embargo, puede elegir una superposición de estas dos ondas para obtener un pecado (x) o cos (x), que obedecen a la simetría del potencial.
Por último, para el hamiltoniano no degenerado que sigue la simetría, entonces el estado fundamental puede ser par o impar. Ahora bien, la razón por la que Chinmayee explica otra cosa es la explicación correcta.
Ref: Mod. QM por Sakurai, Simetría en el capítulo QM.

Answer 2

Cada vez que el potencial es simétrico, la ‘Paridad’ aparece en escena porque ambos viajan al trabajo. Este operador discreto tiene dos valores propios posibles ‘1’ y ‘-1’. El operador hamiltoniano y de paridad tienen un conjunto común de estados propios. Y estos estados propios llevan el comportamiento de paridad al ser simétricos o asimétricos con respecto al origen. Matemáticamente, la paridad se incluye en la función de onda mediante [math] (- 1) ^ l [/ math] cuando [math] l [/ math] es el número cuántico de momento angular con el valor más bajo [math] l = 0 [/ math ] para las funciones de onda del estado fundamental. Esto da una función de onda par.

Pero físicamente, si consideramos que las funciones de onda de estado fundamental no tienen un nodo (en un lenguaje sencillo, la función de onda de estado fundamental se convierte en cero solo en los límites del potencial y en ninguna otra parte). Una función de onda sin nodo no puede ser extraña sobre el origen porque tiene que cruzar el valor ‘0’ para ir de -ve a + ve o viceversa. Si no puede ser cero en medio, entonces tiene que ser par.