Teorema de Riemann sobre series condicionalmente convergentes.
Este teorema dice que puedes reorganizar los términos de cualquier serie condicionalmente convergente para que converja a cualquier número real o para que se desvíe a [math] \ infty [/ math] o a [math] – \ infty. [/ Math ]
Definiciones de series condicionalmente convergentes y absolutamente convergentes.
La definición de una serie condicionalmente convergente es cualquier serie que no sea absolutamente convergente, mientras que la definición de una serie absolutamente convergente es aquella cuya serie de valores absolutos converge.
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A diferencia de una serie condicionalmente convergente, y una serie absolutamente convergente converge al mismo número, sin importar cómo se reorganicen los términos de la serie.
Ejemplo de una serie absolutamente convergente.
La serie alterna de la suma de los recíprocos de cuadrados es un ejemplo de ello.
[math] 1- \ frac14 + \ frac19- \ frac1 {16} + \ cdots \ mp \ frac1 {n ^ 2} \ pm \ cdots [/ math]
Se suma a [math] \ pi ^ 2/12, [/ math] y no importa cómo reorganice los términos, aún se suma a [math] \ pi ^ 2/12. [/ Math]
Ejemplo de una serie condicionalmente convergente.
La serie alterna de la suma de los enteros positivos recíprocos es un ejemplo.
[math] 1- \ frac12 + \ frac13- \ frac14 + \ cdots \ mp \ frac1 {n} \ pm \ cdots [/ math]
Suma a [math] \ log 2. [/ Math] Pero puede reorganizar los términos para que se sumen a una suma diferente. Por ejemplo, si agrega los términos positivos más adelante y los negativos antes, como en
[math] 1- \ frac12- \ frac14 + \ frac13- \ frac16- \ frac18 + \ frac15- \ frac1 {10} – \ frac1 {12} + \ cdots [/ math]
donde agrega un positivo luego dos negativos repetidamente, luego la nueva serie se suma a [math] \ frac12 \ log2. [/ math]
¿Qué significa todo esto?
Solo significa que no puede reorganizar los términos de una serie condicionalmente convergente o podría obtener una suma diferente.
Si solo reorganizas finamente muchos de ellos, entonces eso no es un problema. El problema solo puede surgir si mueves infinitamente a muchos de ellos.