¿Cómo cambian la energía potencial elástica, la energía potencial gravitatoria y la energía cinética para una masa que está suspendida de un resorte y está oscilando verticalmente?

Answer 1

La energía potencial se mide en términos de una referencia. Supongamos que la referencia del objeto que se encuentra en la longitud natural del resorte ideal sea 0 de ambos potenciales.

El potencial gravitacional es [math] -mgy [/ math]
donde y es la distancia desde la referencia, hacia arriba es positivo. Dado que la fuerza es [math] mg [/ math] (siendo g [math] -9.8 \ frac {m} {s ^ 2} [/ math])
La energía potencial elástica para el resorte será [math] \ frac {1} {2} ky ^ {2} [/ math], ya que la fuerza será [math] – ky [/ math]
Así podemos escribir conservación de la energía como
[math] \ frac {1} {2} ky ^ {2} -mgy + \ frac {1} {2} m (\ frac {d} {dt} y) ^ {2} = constante = C_ {1} [/mates]
Dado que RHS es una constante, podemos ajustar la ecuación más:

[math] \ frac {1} {2} k (y – \ frac {mg} {k}) ^ {2} + \ frac {1} {2} m (\ frac {d} {dt} y) ^ {2} = C_ {1} + \ frac {(mg) ^ {2}} {2k} = C_ {2} [/ math]
Esto es bastante similar a un resorte que oscila horizontalmente, solo que aquí la longitud natural aumenta en un factor de [math] \ frac {mg} {k} [/ math]
Las condiciones de contorno como la amplitud de las oscilaciones, etc., darán [math] C_ {2} [/ math]. El resto de la solución debe coincidir con la solución de un resorte horizontal con el cambio de origen dado.