No soy un gran experto, así que simplemente daré una visión general de la pregunta. La clasificación topológica de colectores diferenciables compactos sin límite según dimensión:
- La dimensión 1 es trivial por cualquier definición
- La dimensión 2 se hace mediante el uso del género. Se realizó en el siglo XIX y es fácil de explicar (ver Superficie (Clasificación de superficies cerradas)). Pero tenga en cuenta que la dimensión 2 no es necesariamente trivial: por ejemplo, Maryam Mirzakhani obtuvo medallas de campo en parte por su trabajo sobre geodésicos en superficies.
- La dimensión 3 es difícil, sin embargo, hay un esquema para la clasificación y ahora, después del trabajo de William Thurston y Grigori Perelman, se ha aclarado mucho. Por ejemplo, uno puede escribir algoritmos para decidir si dos colectores compactos de 3 dimensiones son isomorfos.
- La dimensión 4 ya está en el dominio de indecidibilidad. Por ejemplo, cualquier grupo descrito por generadores y relaciones puede ser un grupo fundamental de una variedad de 4 dimensiones. Muchos temas no están claros y el tema fue cambiado por el trabajo de Simon Donaldson y Edward Witten en otros sobre el invariante Seiberg-Witten.
- Para una dimensión mayor que 5, existe un esquema de clasificación según la teoría de h-cobordismo de Stephen Smale.
Entonces, la dimensión 4 es la dimensión crítica de alguna manera donde esperamos que sucedan cosas interesantes. No es demasiado alto para ser completamente no computable, tenemos la teoría de superficies complejas, geometría simpléctica. Es un lugar donde pueden suceder muchas cosas y aún se puede explicar razonablemente bien:
- El teorema de Donaldson proporciona una fuerte restricción en la forma de intersección de un colector liso de 4 dimensiones. Como consecuencia, muchos 4-manifolds no admiten estructuras lisas. También algunas variedades lisas pueden ser homeomorfas pero no difeomorfas y así sucesivamente. Vea las referencias en la teoría de Donaldson para una descripción de la teoría. En su mayoría ha sido reemplazado por la teoría de Seiberg-Witten, por lo que es difícil encontrar cuentas de ello. El punto importante es que la teoría requiere el uso de la invariancia SU (2) y es relativamente complicada, más complicada que la teoría de Seiberg-Witten.
- Como observación adicional, tenga en cuenta que la cubierta universal del grupo de isometría SO (4) es isomorfa a SU (2) x SU (2), siendo la cubierta universal de SO (2) la propia SU (2). La dimensión 4 es la única dimensión donde el grupo SO (n) no es irreducible. Esto se da a veces como razón por la cual la dimensión 4 es especial, pero no conozco ninguna referencia al respecto.
- La teoría de Seiberg-Witten es una teoría de calibre supersimétrico, es decir, la optimización de una cantidad. Lo mejor es mirar la referencia original [hep-th / 9407087] Condensación y confinamiento monopolo en N = 2 Teoría supersimétrica de Yang-Mills. La física no la comentaré, pero el punto clave es la fórmula (4.6) en el documento. Básicamente, es de la forma [math] E = \ int \ Vert D \ phi \ Vert ^ 2 + \ sqrt {2} n_m a_D [/ math]. Da un límite inferior a la energía [math] E \ geq \ sqrt {2} n_m a_D [/ math]. La fórmula proviene de una integración por parte. El punto es que uno puede hacer que el término en la integral sea cero, es decir, [math] D \ phi = 0 [/ math]. Y entonces encuentre que para esas soluciones tenemos una expresión exacta para la energía. Tenga en cuenta que no es necesario resolver [math] D \ phi = 0 [/ math], basta con saber que existe una solución para encontrar el mínimo de energía.
- Para la dimensión 2, la imagen es un poco más simple. Puede ver esas ideas en mi tesis doctoral [math-ph / 9912011] Bifurcación vers l’etat d’Abrikosov et diagramme des phase. Como puede ver, doy el diagrama de fase del caso considerado sin resolver explícitamente el problema variacional, solo demostrando que alguna ecuación tiene soluciones.
- Ahora resulta que el espacio de soluciones [math] D \ phi = 0 [/ math] es muy interesante. El invariante Seiberg-Witten se define desde este espacio de soluciones. Ver referencias en esa página de Wikipedia para detalles sobre la teoría.
- Ahora, después de esa definición original, los matemáticos buscaron la generalización y lo que encontraron es que para las variedades simplécticas las invariantes de Seiberg-Witten dan lo mismo que el invariante de Gromov definido a través de la curva pseudoholomórfica. Esto a su vez llevó más tarde a invariante Gromov-Witten. Mira la referencia para infos, el tema es claramente difícil.