En lugar de dar una lista de temas matemáticos, algunos de los cuales pueden no explicarse por sí mismos, trataré de responder de manera que un estudiante de secundaria pueda relacionarse.
- Cálculo. Aprendes una herramienta para explorar las compensaciones y la acumulación de pequeñas cantidades. Ejemplos:
- (compensaciones) Usted tiene 100 pies de cable para cercar un área rectangular. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que le dan más área? Si elige un rectángulo al azar, por ejemplo, 40 pies x 10 pies, obtendrá un área aleatoria de 400 pies cuadrados en este caso. Pero tenga en cuenta que un cálculo de 30 pies x 20 pies le brinda un área más amplia: 600 pies cuadrados. El cálculo le brinda una manera de comprender las ventajas y desventajas de manera sistemática, no por prueba y error.
- (acumulación de pequeñas cantidades) Un alambre de cobre recto y largo tiene una densidad variable. La densidad se describe mediante alguna función [math] f (x) [/ math], donde [math] x [/ math] representa la distancia desde un extremo del cable. ¿Cuál es la masa total del alambre? Si el cable no era un cable, sino que era algo así como cuentas de diferentes masas, la respuesta es fácil: simplemente sume las cuentas (asumiendo que la masa de la cuerda es insignificante). Pero un cable continuo es algo así como una cadena de infinitamente Muchas cuentas infinitesimales. Cálculo te da una herramienta para sumar esas masas también.
2. Ecuaciones diferenciales. Aprendes cómo equilibrar las tasas de cambio que compiten o interactúan. Por ejemplo, en la escuela secundaria aprendes cuánto tarda una pelota en caer 100 pies sin resistencia del aire. Así de simple. Pero ¿y si asumimos que hay resistencia del aire? ¿La resistencia del aire es una fuerza proporcional al cuadrado de la velocidad del objeto? Entonces, ¿qué tan rápido toma la pelota para caer? Esa es una ecuación diferencial clásica.
3. Álgebra lineal. Probablemente sepa de ecuaciones lineales, como [math] 3x + 5 = 11. [/ Math] Probablemente sepa de sistemas de ecuaciones lineales, como [math] 3x + 5y = 11 [/ math], y [math] 5x + 3y = 13 [/ math]. Es posible que conozca algunas técnicas para resolverlas que sean totalmente prácticas con un pequeño número de variables … técnicas como la sustitución y la gráfica. Pero hay más técnicas fundamentales que tienen una aplicabilidad más amplia, como si tuvieras 100 ecuaciones en 100 variables. Aprendes sobre todo esto en álgebra lineal.
4. Análisis. Resulta que probablemente te tomaste muchas libertades cuando aprendiste el cálculo. Puede que ni siquiera te hayas dado cuenta. Por ejemplo, ¿qué es un número real? ¿Cómo sabes que el concepto de un número real tiene sentido lógico? (¿Podría haber dos formas desiguales de describir las cosas que se parecen a números reales?) El análisis es una revisión del cálculo, con este nivel extremo de detalle lógico. En esta etapa del plan de estudios, deja de hacer cálculos y comienza a hacer pruebas, al menos principalmente.
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5. Álgebra abstracta. Sabes que los enteros pueden ser impares o par. Probablemente conoces reglas, como impar + impar = par, par + par = par, impar + par = impar, etc. Probablemente te hayas dado cuenta de que “impar” e “par” forman su propio sistema aritmético consistente y autónomo. , de acuerdo a estas reglas. Este sistema autónomo es uno de los ejemplos más simples de una “estructura algebraica”. Es posible que también haya escuchado acerca de la aritmética modular … y si no, puede haberse dado cuenta de que puede hacer aritmética con las horas del día de una manera peculiar. Si agrega 7 horas a las 9:00 pm, no obtendrá 16:00 pm … obtendrá 4:00 am. O si tiene ganas de mantener el horario de 24 horas, 7 horas más 21:00 no es 28:00, es 04:00. Te “envuelves”. Esa es otra estructura algebraica.
En el álgebra abstracta, usted define y estudia las estructuras algebraicas abstractas. Aprendes ejemplos a lo largo del camino. Aunque el curso se centra en el resumen, a menudo hay aplicaciones que aparecen en el camino. Quizás uno de los primeros sea la simetría: las simetrías de cualquier objeto forman un cierto tipo de estructura algebraica. A veces, comprender las características de la estructura algebraica de las simetrías de un objeto puede ayudarlo a comprender el objeto subyacente.
6. Topología. De vuelta en el análisis, usaste el concepto de distancia muy fuertemente. En forma intuitiva, se notaron fenómenos como las funciones de “buen comportamiento” que no distorsionan demasiado la distancia entre puntos muy cercanos. En la topología, va un poco más abstracto: mantiene una noción de lo que significa para los puntos, en cierto sentido, estar “cerca”, pero se libra de una noción de distancia. Luego exploras muchas de las mismas preguntas que hiciste en el análisis.
7. Geometría. ¿Qué es un círculo? Probablemente tenga una imagen en su mente, pero puede que no se dé cuenta de que tiene dos imágenes: visualiza un círculo que vive dentro de un plano . ¿Puedes pensar en un círculo, sin pensar en ningún plano que lo contenga? ¿Un círculo “intrínseco”, por así decirlo? Hay una razón para hacer esto, aunque no sea obvio de qué se trata. Pero puedes desarrollar geometría desde este punto de vista “intrínseco”, y es muy valioso. Exploras cosas como la curvatura, los límites, las coordenadas, cómo hacer cálculos en una forma curva, etc. Luego, una vez que entiendes eso, puedes volver a la cosa del “círculo dentro del plano” y estudiar lo que se llama “incrustaciones” de una forma dentro de otra, y hablar sobre cosas interesantes como el tipo de intersecciones que puede obtener.
Hay muchos otros temas, por supuesto: matemáticas discretas (resumen: contar es más difícil de lo que parece); probabilidad (resumen: probabilidad es lo que piensas que es); análisis numérico (resumen: cómo implementar realmente todas estas otras tonterías abstractas extravagantes de una manera eficiente y práctica), y otras cosas. Pero las áreas que describí anteriormente forman el núcleo de la mayoría de los currículos de matemáticas.