¿Cuáles son algunas buenas ideas para un proyecto de feria de ciencias de quinto grado? Aprendiendo y Estudiando para siempre

Obviamente, todo depende del estudiante de quinto grado a quien el proyecto debe atender; No todos los estudiantes de quinto grado son creados iguales. Pero a lo largo de los años he descubierto que muchos estudiantes de quinto grado son bastante capaces de realizar (y, lo que es más importante, disfrutar) de este, que espero que pueda ser de alguna utilidad para el Dr. Amit y para otros interesados en su pregunta. .

DESCUBRE LOS NUMEROS COMPLEJOS

Sigue los pasos de los antiguos griegos para llegar a uno de los descubrimientos más trascendentales de la historia humana.

1. Calcula los primeros veinte números cuadrados.

OBSERVACIÓN: Quizás esto se puede hacer mejor agregando los números impares sucesivos, que funcionan por razones que pueden ilustrarse bellamente mediante la descomposición de cuadrados en sucesivos “gnomones”.

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2. Agregue todos los pares posibles de números cuadrados de la lista en el Paso 1; ingrese las sumas resultantes en las celdas de una tabla de 20 por 20 (de la manera obvia).

OBSERVACIÓN: la mejor razón para interesarse en la suma de dos cuadrados es, por supuesto, la relación de Pitágoras, que muestra que la suma resultante es el área de un cuadrado que está relacionada con los dos cuadrados de summand de una manera geométricamente natural.

Hay, por supuesto, innumerables pruebas de esta relación, muchas de ellas lo suficientemente simples y naturales como para ocurrirle a un imaginativo estudiante de quinto grado cuya intuición ha sido acentuada por unos cuantos empujones suaves y sugestivos de un sofisticado (véase, por ejemplo, la conversación de Sócrates con el esclavo en el “Meno”)

Un análisis especialmente penetrante del significado del teorema de Pitágoras se encuentra en este elegante ensayo para un público general:

Página en berkeley.edu

Otra discusión similarmente esclarecedora sobre el mismo tema aparece en las primeras páginas del CAMINO HACIA LA REALIDAD de Roger Penrose.

ADENDA: Por supuesto, el cálculo (considerable) necesario para completar este paso puede dejarse para Microsoft Excel, o para un par de bucles anidados “para”.

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3. En la tabla resultante, colorea todas las celdas que contienen un múltiplo de 5.

OBSERVACIÓN: Debido a que los múltiplos (base-10) de 5 son obvios a simple vista, esencialmente no se necesita energía cognitiva para completar este paso. Pero la imagen resultante es fascinante, sorprendente y profundamente gratificante, ya que revela un patrón sorprendente cuya inteligibilidad parcial lo hace increíblemente hermoso. (“En general, la belleza tiene que despertar nuestro interés, por lo que a menudo involucra patrones que podemos apreciar pero no entender completamente”. ~ T. Gowers)

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4. Observe que si se piensa en todas las celdas de la tabla como los cuadrados de un tablero de ajedrez (más grande), entonces dos caballeros ubicados en las dos celdas que contienen el número 5 pueden (eventualmente) alcanzar cualquier otra celda que contenga una múltiplo de 5 (por movimientos legales en el tablero de ajedrez.)

OBSERVACIÓN: Idealmente, esta observación debería ocurrirle al estudiante de 5º grado, sin una intervención significativa de un adulto. Sin embargo, puede ser una buena idea, si el joven investigador parece frustrado y desconcertado, dejar caer una pista vaga sobre la posible relevancia de imaginar que la mesa es un tablero de ajedrez.

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5. Descomponer el conjunto de todas las celdas de colores en el “tablero de ajedrez” (es decir, el conjunto de todos los múltiplos de 5 en la tabla) en una colección natural de secuencias de “movimiento de caballero” desunidas. Luego, divida cada uno de los números en cada secuencia por 5. Verifique los cocientes derivados de cada secuencia para los patrones.

(Pista: a partir de los 5 más altos y moviendo repetidamente dos cuadrados a la derecha y un cuadrado más abajo, se obtiene una secuencia de múltiplos de 5 que, cuando se divide por 5, da 1, 4, 9, 16, …)

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6. Después de una experimentación considerable del tipo descrito en el Paso 5, concluya que a partir de la posición de un número en la tabla (es decir, su número de fila y número de columna), se puede predecir la posición de su producto con 5. Conjetura de una ley que predice La posición de este producto.

(Nota: es crucial reconocer que el producto de un número en la tabla con 5 suele estar presente en dos ubicaciones muy diferentes en la tabla. La ley conjeturada debe formularse para tener en cuenta esta característica esencial).

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7. Repita los pasos 3 a 6 con 5 reemplazados por 13 (y, si lo desea / necesita, agregue una iteración adicional adicional, reemplazando con 13 por 17.) Tenga en cuenta que debe usarse un nuevo color para los múltiplos de 13 (y, más generalmente, para cada nuevo reemplazo.)

OBSERVACIÓN: es más fácil entender los patrones que resultan si el multiplicador utilizado es primo. Sin embargo, los multiplicadores no primos también producen resultados interesantes, y el joven investigador no debe desanimarse de estudiarlos también.

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8. Generalice todas las leyes conjeturadas obtenidas al final de cada iteración del bucle Paso 3 – Paso 6 para llegar a una gran conjetura unificada: si (a, b) es la ubicación (fila, columna) de una entrada en la tabla y (c, d) es la ubicación de otra entrada, luego la (s) ubicación (es) de su producto es (son)

(ac +/- bd, ad – / + bc).

OBSERVACIÓN: Este es un paso altamente no trivial, que típicamente desafiará incluso a un estudiante de quinto grado bastante brillante. Pero una experiencia considerable ha demostrado que llegar a esta conclusión es completamente factible, y que el deseo de lograr tal unificación normalmente se vuelve bastante convincente a medida que se acumulan los resultados parciales individuales.

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9. la regla

(a, b) * (c, d) = (ac – bd, ad + bc)

El Paso 8 produce un nuevo par de números de cualquiera de los dos pares dados. Concluya (por cualquiera de los diversos medios) que lo hace de una manera que no depende del orden en el que ingresan los dos pares dados.

Concluye también que

(a, 0) * (b, 0) = (ab, 0) para todos a, b,

que muestra que los pares de números de la forma (n, 0) se multiplican exactamente de la misma manera que los números ordinarios n – y que, en particular,

(1, 0) * (a, b) = (a, b) y

(0, 1) * (a, b) = (-b, a) para todos a, b,

de lo que se deduce que

(0, 1) * (0, 1) = (-1, 0).

(Este último resultado podría parafrasearse diciendo que “el cuadrado de (0, 1) es (-1, 0)”).

OBSERVACIÓN: es improbable que se produzcan todas estas conclusiones (al menos no de una vez) incluso para el alumno de quinto grado más brillante, a menos que, una vez más, se haya administrado una cierta cantidad de empujones discretos por parte de un sofisticado mucho antes de este paso. Una gran cantidad de delicadeza y juicio entra en empujar de esta manera. La mayoría de los sofisticados no son iguales al desafío, se vuelven excesivamente didácticos y explícitos. Es mejor descartar este paso y sus sucesores que volverse demasiado didáctico y explícito.

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10. Tenga en cuenta también que

(a, b) * (a, -b) = (a ^ 2 + b ^ 2, 0) para todos a, b,

de modo que no hay un par (a, b) cuyo producto “*” con cada otro par siempre produzca (0, 0), excepto, obviamente, para el par (0, 0) en sí.

OBSERVACIÓN: es más fácil inculcar ansiedad por patologías como la que se descartó aquí en el estudiante de quinto grado que ya ha encontrado un comportamiento muy extraño en alguna modificación de la aritmética ordinaria u otra.

Probablemente el ejemplo más accesible de una patología alarmante surge en la multiplicación del “último dígito”, una modificación de la multiplicación ordinaria en la cual el “producto del último dígito” de dos números enteros se obtiene al mantener solo el último dígito de su producto ordinario.

La aritmética de “multiplicación y suma del último dígito” lleva a conclusiones muy extrañas como 2 * 5 = 0, en las que los dos números distintos de cero 2, 5 tienen un producto de cero. Lo que hace que esto sea tan inquietante es que, de cualquier otra manera, la aritmética de “multiplicación y suma del último dígito” se comporta de manera muy parecida a la aritmética ordinaria (es decir, sus operaciones son conmutativas, asociativas, distributivas, etc.)

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11. Concluya (idealmente, después de una mayor investigación de sus diversas propiedades, incluidas aquellas que especifican su relación con la “regla de suma de pares” dada por (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)) que la “regla de multiplicación”

(a, b) * (c, d) = (ac – bd, ad + bc)

tiene bastante en común con la multiplicación ordinaria para contar como una generalización natural e interesante de esa operación familiar, una generalización en la que -1 tiene una raíz cuadrada (de hecho, dos de ellas).

OBSERVACIÓN: Probablemente las propiedades distributivas y asociativas son las principales cosas que quedan por agonizar aquí, y especialmente esta última es una tarea para verificar sin más facilidad y experiencia algebraicas que la mayoría de los estudiantes de quinto grado. Como cuestión práctica, probablemente sea mejor renunciar a ellos, a menos que, por supuesto, el estudiante de quinto grado se oponga.

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12. Observe que Diofanto de Alejandría, en el siglo IV d. C., parece haber sabido todo esto, pero que hizo poco con el conocimiento (especialmente en comparación con los matemáticos europeos posteriores). Especula sobre por qué podría haber sido esto.

OBSERVACIÓN: es difícil imaginar un mejor lugar para buscar orientación con este paso que la TEORÍA DEL NÚMERO de Andre Weil: un acercamiento a través de la historia desde Hammurapi hasta Legendre. Pero no es un libro en las estanterías de todos. Otro título que vale la pena ver, disponible en al menos algunas bibliotecas públicas, es DIOPHANTUS AND DIOPHANTINE ECATIONS, de Isabella Bashmakova, un pequeño libro breve pero encantador.