¿Cuál es tu ecuación diofántica favorita?

Mi ecuación diofántica favorita es la siguiente:

[math] x ^ 3 + y ^ 2 + z ^ p = 0 [/ math],

Donde [math] xyz \ neq 0 [/ math], y [math] p> 7 [/ math] es un número primo, [math] z \ neq -1 [/ math], donde esta ecuación no tiene una sola solución de enteros en coprime enteros no cero ([math] x, y, z [/ math])

No sé quién lo había conjeturado explícitamente a partir de la historia de las matemáticas, pero le invitamos a que agregue cualquier información relevante en particular que mencione la fecha exacta de esta maravillosa conjetura.

¿Por qué creo que este tiene más importancia que el bien conocido? El último teorema de Fermat o el reciente abierto conocido como la Conjetura de Beal con un millón de dólares estadounidenses ofrecidos como ejemplo de contador o prueba, debido a las siguientes razones que reconocería por el tiempo :

1) Este problema involucra solo un exponente principal en lugar de tres, con dos exponentes conocidos en su forma de exponente más bajo como (2, 3)

2) Este problema es público, no introducido por la autoridad matemática hasta ahora o un matemático profesional conocido influyente

3) Este problema no es bien conocido por los matemáticos, ya que es un juego maduro y favorito solo que es demasiado relevante para algunas conjeturas y fórmulas más interesantes que se incluyen en sus pocas respuestas que aún no han sido resueltas.

4) Este problema, si se demuestra que es verdadero, pondrá un final obvio a la ecuación trinomial diofántica que salvaría a muchos matemáticos en el futuro.

5) Este problema, si se demuestra que es verdadero, también probaría FLT y la Conjetura de Beal y algunos otros

6) Si se demuestra que este problema es verdadero, haría que muchas otras ecuaciones diofánticas sean mucho más fáciles que nunca para que los estudiantes de la escuela entiendan

7) Este problema allanaría el camino más alto hacia ecuaciones diofánticas más desafiantes con una variable adicional más

8) Este problema proporcionaría un significado mucho mejor de la no solvabilidad de la ecuación diofántica al concepto de los números reales

9) Este problema, sin duda o en última instancia, se aplicaría a las comunidades oficiales de matemática profesional que generalmente están cerradas por el interés de matemáticos talentosos y maduros.

10) Este problema revelaría muchos más significados de lo que podemos imaginar a primera vista.

Entonces, matémoslo de inmediato, proporcionando solo un ejemplo de contador antes de que se convierta en otra tragedia sin resolver en matemáticas.

Saludos

Bassam Karzeddin

29 de enero de 2017

Me gusta la forma cuadrática ternaria. Es decir, la ecuación de Legendre.

El problema se resuelve definitivamente. Por qué la pregunta se repite constantemente para mí no está clara. Considere dos opciones para resolver este problema. La primera opción es resolver directamente la ecuación sin saber si hay soluciones.

[math] aX ^ 2 + bXY + cY ^ 2 = jZ ^ 2 [/ math]

Las soluciones pueden escribirse incluso si una sola raíz. [math] \ sqrt {j (a + b + c)} [/ math]; [math] \ sqrt {b ^ 2 + 4a (jc)} [/ math]; [math] \ sqrt {b ^ 2 + 4c (ja)} [/ math]

Entonces la solución puede ser escrita.

[math] X = (2j (b + 2c) ^ 2- (b ^ 2 + 4c (ja)) (j \ pm \ sqrt {j (a + b + c)})) s ^ 2 + [/ math ]

[math] +2 (b + 2c) (\ sqrt {j (a + b + c)} \ mp {j}) sp + (j \ mp \ sqrt {j (a + b + c)}) p ^ 2 [/mates]

[math] Y = (2j (2j-b-2a) (b + 2c) – (b ^ 2 + 4c (ja)) (j \ pm \ sqrt {j (a + b + c)})) s ^ 2+ [/ math]

[math] +2 ((2j-2a-b) \ sqrt {j (a + b + c)} \ mp {j (b + 2c)}) sp + (j \ mp \ sqrt {j (a + b + c)}) p ^ 2 [/ math]

[math] Z = (2j (b + 2c) ^ 2- (b ^ 2 + 4c (ja)) (a + b + c \ pm \ sqrt {j (a + b + c)})) s ^ 2 + [/ math]

[math] +2 (b + 2c) (\ sqrt {j (a + b + c)} \ mp {j}) sp + (a + b + c \ mp \ sqrt {j (a + b + c) }) p ^ 2 [/ math]

En el caso de que la raíz [math] \ sqrt {b ^ 2 + 4c (ja)} [/ math] esté completa. Las soluciones tienen la forma.

[math] X = ((2j-b-2c) (8ac + 2b (2j-b)) – (b ^ 2 + 4a (jc)) (b + 2c \ mp \ sqrt {b ^ 2 + 4c (ja )})) s ^ 2 + [/ math]

[math] +2 (4ac + b (2j-b) \ pm {(2j-b-2c)} \ sqrt {b ^ 2 + 4c (ja)}) sp + (b + 2c \ pm \ sqrt {b ^ 2 + 4c (ja)}) p ^ 2 [/ math]

[math] Y = ((b + 2a) (8ac + 2b (2j-b)) – (b ^ 2 + 4a (jc)) (2j-b-2a \ mp \ sqrt {b ^ 2 + 4c (ja )})) s ^ 2 + [/ math]

[math] +2 (4ac + b (2j-b) \ pm {(b + 2a)} \ sqrt {b ^ 2 + 4c (ja)}) sp + (2j-b-2a \ pm \ sqrt {b ^ 2 + 4c (ja)}) p ^ 2 [/ math]

[math] Z = ((b + 2a) (8ac + 2b (2j-b)) – (b ^ 2 + 4a (jc)) (b + 2c \ mp \ sqrt {b ^ 2 + 4c (ja)} )) s ^ 2 + [/ math]

[math] +2 (4ac + b (2j-b) \ pm {(b + 2a)} \ sqrt {b ^ 2 + 4c (ja)}) sp + (b + 2c \ pm \ sqrt {b ^ 2 + 4c (ja)}) p ^ 2 [/ math]

En el caso de que la raíz [math] \ sqrt {b ^ 2 + 4a (jc)} [/ math] esté completa. Las soluciones tienen la forma.

[math] X = (2j ^ 2 (b + 2a) -j (a + b + c) (2j-2c-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 + 4a (jc)})) p ^ 2 + [ /mates]

[math] + 2j (\ sqrt {b ^ 2 + 4a (jc)} \ mp {(b + 2a)}) ps + (2j-2c-b \ mp \ sqrt {b ^ 2 + 4a (jc)}) s ^ 2 [/ math]

[math] Y = (2j ^ 2 (b + 2a) -j (a + b + c) (b + 2a \ pm \ sqrt {b ^ 2 + 4a (jc)})) p ^ 2 + [/ math ]

[math] + 2j (\ sqrt {b ^ 2 + 4a (jc)} \ mp {(b + 2a)}) ps + (b + 2a \ mp \ sqrt {b ^ 2 + 4a (jc)}) s ^ 2 [/ math]

[math] Z = j (a + b + c) (b + 2a \ mp \ sqrt {b ^ 2 + 4a (jc)}) p ^ 2 + [/ math]

[math] +2 ((a + b + c) \ sqrt {b ^ 2 + 4a (jc)} \ mp {j (b + 2a)}) ps + (b + 2a \ mp \ sqrt {b ^ 2 + 4a (jc)}) s ^ 2 [/ math]

Dado que estas fórmulas están escritas en términos generales, requieren ciertos cálculos de especificidad. Si, después de una permutación de los coeficientes, ninguna raíz no es un número entero. Debe comprobar si hay una forma cuadrática equivalente en la cual, al menos una raíz de un todo. Generalmente es suficiente para realizar la sustitución [math] X \ longrightarrow {X + kY} [/ math] o más [math] Y \ longrightarrow {Y + kX} [/ math] De hecho, esto se reduce a determinar la existencia de soluciones En cierta ecuación de Pell. Por supuesto con tal idea podemos resolver ecuaciones más complejas. Si no molestaré a nadie, poco a poco la fórmula dibujará. numere [math] p, s [/ math] enteros y establezca nosotros.

Esta es la representación diofántica del conjunto de números primos hallada por Jones et al. En 1976. Es un polinomio en 26 variables.

Para la mayoría de las combinaciones de [math] a, b,…, z [/ math] el resultado será [math] \ leq0 [/ math]. Pero si es positivo, entonces su valor será primordial. Todos los números primos se alcanzan, con otras palabras: Esta es una desigualdad generadora principal.

[math] 1024 n – 15265 k = 11529 [/ math]

[math] 4 ^ 5 \, n – 5 ^ 6 \, k = 11529 [/ math]

Esa es la ecuación que obtienes cuando intentas resolver (una variante de) el problema de los monos y los cocos.

5 marineros planean dividir un montón de cocos entre ellos por la mañana. Durante la noche, uno de ellos decide tomar su parte. Después de lanzarle un coco a un mono para que salga la división, él toma 1/5 de la pila. Los otros cuatro marineros repiten este procedimiento, cada uno arrojando un coco al mono y tomando 1/5 de los cocos restantes. Por la mañana, los 5 marineros lanzan un coco al mono y dividen los cocos restantes en 5 pilas iguales. ¿Cuál es el número mínimo de cocos que pudieron haber estado originalmente en la pila? [enlazar]

En nuestra ecuación, [math] n [/ math] es el número de cocos con los que empezamos, y [math] k [/ math] es el número de cocos recibidos por cada uno en la última división.

Me gusta el método de fracción continua para las ecuaciones diofánticas lineales, pero la mayoría de los problemas son tan fáciles que es más rápido adivinar la respuesta que calcular los convergentes a la fracción continua. Este es un poco más difícil de adivinar.

Pero no imposible. En particular, el escalofriante [math] k = -1 [/ math] rinde

[math] 1024 n = 11529 -15625 = -4096 [/ math]

[math] n = -4 [/ math]

Vamos a ver cómo funciona eso. Comenzamos con [math] -4 [/ math] cocos. Después de lanzar uno al mono, tenemos [math] -5. [/ Math] Mi parte es [math] -1, [/ math] dejando a [math] -4, [/ math] la nueva pila!

Es bastante obvio que podemos sumar o restar múltiplos de [math] 5 ^ 6 [/ math] a [math] n [/ math] y aún tener una solución, por lo que la solución positiva más pequeña es [math] n = 15621. [/ mates]

Si quieres probar un problema que no funciona tan fácilmente, cambia esto para que no haya coco para el mono en la última división.