¿Cuándo se darán cuenta todos que los números con decimales de repetición infinitos son falsos, “no existentes” en nuestro número de línea real?

Answer 1

Estoy bastante sorprendido de que, en lugar de preguntar sobre un tema que tenga buenos puntos en ambos lados, presente su opinión como un hecho y luego se pregunte por qué todos los demás no están de acuerdo con usted.

De todos modos, el problema es que piensas que la notación decimal es la única forma verdadera de representar números con dígitos que se repiten. Pi, por ejemplo, tiene un significado muy bien definido, es la circunferencia de un círculo dividido por el diámetro. ¿Qué es en notación decimal? La verdad es que podemos hacer buenas aproximaciones, pero al final no importa. Es posible que puedas ubicar pi en algún lugar cerca de donde está en una línea numérica, aunque nunca lo harás exactamente bien. Sin embargo, está en algún lugar, y las medidas que tratan con los infinitos son algo que nosotros, los humanos, simplemente tenemos que tratar de envolver nuestros cerebros para entender su significado. Si también te refieres no solo a los números trascendentales, sino a los números irracionales antiguos como, por ejemplo, .333333333333333333333. Nuevamente, hay una forma de representar este número sin infinitos, 1/3.

Answer 2

Los decimales de repetición infinita no son un problema en absoluto. Todos son racionales. A menos que crea que nunca puede dividir algo en tres partes iguales simplemente porque nuestro sistema numérico se basa en nuestros diez dedos, 1/3 no debería ser más un problema que 1/10.

Los números irracionales, cuyas expansiones decimales nunca se repiten, han dado a los matemáticos más problemas, y tratar de estudiar la naturaleza de los reales ha llevado a algunos matemáticos a rechazarlos y limitarse a varios subconjuntos “constructibles”, “finitos” o “intuicionistas”. Sin embargo, los racionales casi no perturban a nadie, y no parece haber una realidad más simple para despertarnos.

Answer 3

Los números con decimales de repetición infinitos y la línea de números reales son dos esquemas de representación de cantidades. Mientras que la representación decimal nos da una comprensión semántica del valor de la cantidad medida y nos ayuda a realizar cálculos con fines prácticos, la recta numérica real nos da una indicación visual sobre la posición relativa de diferentes medidas en una cierta escala predefinida. Estas dos representaciones a menudo están unidas para realizar detenciones donde deben observarse los aspectos de la cantidad medible.

Hay otras representaciones tanto para la representación semántica como para la visual, y ninguna se casa bien en una medida teórica absoluta.

“Los números con decimales de repetición infinitos son falsos”. En primer lugar, “el número” y los “decimales de repetición infinitos” son dos cosas diferentes. Por ejemplo, 1/3 es un número y su representación es 0.33333 … (infinito) en la representación de base 10. El número 1/3 (o la cantidad que representa, la tercera parte de la totalidad) en la base 3 se representaría con el símbolo 0.1 que no es un decimal que se repite infinitamente.

Para representar lo mismo en una recta numérica real de una manera real existente, todo lo que necesita para asegurarse es que una unidad en la recta numérica sea un múltiplo de 3 en la unidad de distancia real (milímetros, centímetros, etc.). Si un intervalo de 1 unidad está representado por una distancia de 3 cm, 1/3 sería existencial y estaría representado por el punto de 1 cm a la derecha de cero.

Al final del día, todo es falso y todo es solo una percepción de la realidad, pero para fines prácticos, las cosas existen y son reales en función de cómo las represente.

Answer 4

Un número decimal repetitivo como [math] 0. \ overline {142857} [/ math] donde los números debajo de la línea se repetirán siempre será un número racional, en este caso [math] \ frac17 [/ math].

Los números decimales de terminación, como [math] 0.05 [/ math], donde todos los dígitos después del último dígito mostrado son [math] 0 [/ math] también son números racionales, pero deben tener solo [math] 2 [/ math] y [ math] 5 [/ math] como divisores principales del denominador. Este es [math] \ frac1 {20} [/ math].

Si un número racional termina o se repite depende de la base utilizada. En la base 10, [math] \ frac1 {20} [/ math] termina y [math] \ frac17 [/ math] se repite. En la base 2, ambas se repiten. En la base 14, [math] \ frac17 [/ math] termina y [math] \ frac1 {20} [/ math] se repite. En la base 70, ambos terminan.

Usamos la base 10 debido a la cantidad de dedos en nuestras manos. Los números que existen y los que no existen no deberían depender de ese artefacto. Los babilonios, por ejemplo, usaron la base 60. ¿Debería [math] \ frac13 [/ math] existir para ellos pero no para nosotros?

No claro que no. Si un número se repite o termina cuando se representa de manera decimal no determina si existe.

Su pregunta es confusa, ya que indica en los detalles que repetir decimales es irracional. No, son racionales. Los decimales no repetitivos son irracionales.

Answer 5

El método de series infinitas y productos tales como

[math] \ frac {1} {1-x} = [/ math] [math] \ sum_ {i \ geq 0} x ^ i [/ math]

[math] e ^ x = \ sum_ {n \ geq 0} \ frac {1} {n!} x ^ n [/ math]

[math] \ frac {6} {\ pi ^ 2} = \ prod_ {p \ mathrm {prime}} \ big (1- \ frac {1} {p ^ 2} \ big) [/ math]

fue iniciada por Newton, Euler y Gauss en el siglo XVIII. Esta revolución de la tecnología matemática ^ [1] era necesario porque, como se ha explicado, los antiguos babilonios y pitagóricos no podían expresar números como [math] e [/ math] y [math] \ pi [/ math]. Solo pudieron trabajar con cantidades cuyos datos numéricos pudieron anotar con decimales, fracciones, raíces, construcciones geométricas, fórmulas químicas, constantes físicas, et. Alabama.

[1]. El álgebra, el análisis y la teoría de los números son grandes campos de las matemáticas avanzadas. Sus detalles son intensamente complejos y sutiles. Para ser precisos: cada una de las tres identidades representa una cantidad matemática más general que un número o una función. No son aproximaciones, sino que son absolutamente exactas y precisas, tanto como límites categóricos de series formales de poder como como puntos límite en el Línea de números reales de secuencias de Cauchy de números racionales.

No soy un experto en la historia de las matemáticas, pero si solo estás al tanto de los árabes, tienes un largo camino por recorrer. Los griegos fueron los primeros matemáticos reales.

Answer 6

Algunas personas, ustedes entre ellos, ya creen que tales números son falsos, así que supongo que se “dieron cuenta” de ello.

Sin embargo … esos números de ninguna manera son falsos .

La notación decimal es una notación . Una notación es simplemente una forma estándar de describir algo.

Los humanos, por ejemplo, pueden ser descritos de muchas maneras diferentes. Donde trabajo y entre mis amigos, basta “Nicolas Daoust”. Pero también tengo un número de seguro social y una identificación alfanumérica en mi permiso de conducir y mi tarjeta de Medicare. Y la mayoría de los sitios web me conocen por una dirección de correo electrónico que uso exclusivamente para el registro. El punto es: todas esas formas de identificarme aún se refieren a lo muy real y existente en mí.

Es lo mismo con los números.

1/3 es real. 0.333 … es real también. En realidad, son exactamente iguales, y ambos identifican de manera única la cantidad existente que llamamos “1/3”.

Obviamente, no podemos escribir esos infinitos 3 ni ningún número infinito de dígitos. ¿Pero a quién le importa? Es notación Si la notación dice explícitamente “dígitos infinitos”, entonces hay dígitos infinitos, con implicaciones muy bien entendidas, y describen de manera única un número específico y bien definido.

Parece aún peor con los números irracionales: [math] \ pi [/ math], por ejemplo, tiene infinitos dígitos que no se repiten y nunca se puede simplificar a, digamos, una fracción simple. Sin embargo, [math] \ pi [/ math] existe, y aunque no podemos calcular su valor exacto, simplemente podemos usar su símbolo para describirlo de manera completa y perfecta, sin ninguna ambigüedad.

Deja de esperar que pueda haber una “revolución” matemática que finalmente exponga la “falsedad” de los decimales infinitos. No habrá; no puede haber

Answer 7

Todo el mundo se dará cuenta de lo que dice cuando alguien que entienda las matemáticas se olvide de todo lo que sabe al respecto.

Con un poco de suerte, eso nunca será.

Answer 8

Se les llama irracionales trascendentales. Ellos llenan la brecha en el continuo. Los números enteros, racionales y algebraicos tienen una cardinalidad transfinita más baja que los irracionales trascendentales. Es más fácil ver si alguna vez tienes un papel. Dibuja un segmento de línea. Ahora, divídalo en todos los puntos repetidamente en puntos, progresando en potencias de 2. Cuando su segmento de línea de puntos se llene demasiado, use un microscopio y un lápiz para continuar la bisección. Con un microscopio que va infinito en potencia de zoom, puede continuar esto para siempre. Sin embargo, nunca se conectará como si fuera su segmento de línea. Todos esos puntos construidos pierden la marca. ¿No lo hacen?