¿Qué es ‘invarianza gauge’?

Answer 1

Como mencionaron otras personas, esto es bastante difícil de explicar sin sumergirse en las matemáticas. Que es entonces lo que no haré (no bucear me refiero).

Tenga en cuenta que esta es una publicación bastante larga, y aún no he dado la información completa. Es muy posible que no puedas seguir las matemáticas, simplemente porque a veces omito por qué ciertas cosas son importantes. Por lo tanto, coloqué una versión de TLDR al final, omite toda la motivación y el razonamiento (tanto por razones físicas como por ecuaciones matemáticas) y podría hacer que parezca que los físicos solo están haciendo algo de magia que nadie entiende. Saltar a su propia discreción.

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Por un momento, echemos un vistazo a un número complejo z. Como probablemente sepas, puedes escribir z de varias maneras diferentes, por ejemplo:

[math] z = a + bi [/ math]

[math] z = \ rho e ^ {i \ theta} [/ math]

Por supuesto, puede escribir [math] \ rho [/ math] y [math] \ theta [/ math] en términos de a y b (o viceversa). Solo consideramos la última forma de escribir z por ahora.

Hay una cierta operación que puedes usar en números complejos llamados conjugación. El conjugado de z generalmente se escribe como [math] \ bar {z} [/ math] y se define como:

[math] \ bar {z} = a – bi = \ rho e ^ {- i \ theta} [/ math]

Ahora, si esta z proviene de una teoría física particular, entonces es posible que desee saber qué tipo de cantidad representa. Sin embargo, z es complejo (a menos que [math] \ theta = 0, \ pi [/ math]). Sin embargo, hay un valor real muy fácil de ganar que se puede crear desde z. A saber:

[math] \ bar {z} \ times {z} = \ rho e ^ {- i \ theta} \ times \ rho e ^ {i \ theta} = \ rho ^ 2 [/ math]

Lo cual es real porque [math] \ rho [/ math] es real. (En la mayoría de los modelos, z se llama [math] \ psi [/ math] o [math] \ phi [/ math] y representa un campo, una función que depende del tiempo y el espacio. Las cantidades físicas tampoco corresponden a [math] \ bar {z} z [/ math], pero explicar exactamente cómo funciona la física te llevaría unos años a nivel universitario, basta con decir que hay razones por las que te gustaría combinaciones como [math] \ bar {z} z [ / math] para ser real).

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Consideremos ahora la parte de la invariancia de la invariancia del indicador.

Cuando algo es invariante en una transformación, significa que no cambia. Consideremos la fase de la variable z, dada por [math] e ^ {i \ theta} [/ math]. Ahora, viene una idea importante: no podemos medir variables complejas con ningún tipo de sistema, esto significa que los valores físicos no dependen realmente de la fase. Es decir, si cambiara cada variable que tengo con otra fase [math] e ^ {i \ phi} [/ math], al final no debería poder notar ninguna diferencia.

Para obtener una comprensión intuitiva de esto, considere qué es una fase para una ola. Si dos ondas tienen una diferencia de fase, significa que una onda está delante de la otra. Sin embargo, para comparar los dos, solo está realmente interesado en la diferencia de fase, no en sus fases reales.

Así que vamos a añadir una fase a nuestra z:

[math] z \ rightarrow \ rho e ^ {i (\ theta + \ phi)} [/ math]

Entonces el conjugado de esto se convierte en:

[math] \ bar {z} \ rightarrow \ rho e ^ {- i (\ theta + \ phi)} [/ math]

Su producto:

[math] \ bar {z} z = \ rho e ^ {- i (\ theta + \ phi)} \ rho e ^ {i (\ theta + \ phi)} = \ rho ^ 2. [/ math]

¡Así que su producto permanece real, y sigue siendo el mismo valor! Esto nos dice que [math] \ bar {z} z [/ math] es invariante en los cambios de fase. En cierto sentido, esto es exactamente lo que esperaríamos, por otra parte, nos dice que hay ciertas cantidades que permanecen invariantes en las transformaciones. Esto es fundamental para entender cualquier teoría física. Si por relatividad, cosas como la duración, el tiempo, la velocidad, etc., todas dependen del observador, entonces, para comunicarse adecuadamente, sería muy útil si tuvieras ciertas cantidades que en realidad son las mismas para todos.

Un cambio de fase no corresponde a un observador diferente, sino que se espera que las cosas permanezcan invariantes en un cambio de fase porque, como se mencionó, no podemos detectar la fase con nada, por lo que no debería ser importante para los resultados finales. Incidentalmente, dado que los resultados finales no mostrarán ninguna dependencia de fase, sería muy conciso si pudiera comenzar con un modelo que tampoco dependiera de esto, ¿verdad?

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Así que ahora podemos llegar a la parte de calibre de esto.

En la parte anterior, aprendió sobre el cambio de fase, cómo puede esperar que ciertas cantidades permanezcan invariantes en las transformaciones. Sin embargo, el cambio de fase que te mostré es lo que llamamos global: en cada punto del espacio funciona igual, multiplica z por [math] e ^ {i \ phi} [/ math]. Sin embargo, podríamos intentar hacer esto local y ver qué sucede. Local indica que esta fase [math] \ phi [/ math] realmente puede cambiar dependiendo de dónde se encuentre en el espacio, por lo que deberíamos escribirlo como [math] \ phi (x) [/ math]. De hecho, si no podemos detectar el cambio de fase, ¿por qué podríamos detectar diferentes cambios de fase en diferentes lugares? (Este no es exactamente un paso trivial, así que no te preocupes si crees que te estoy engañando). Esto significa que cambiamos z de la siguiente manera:

[math] z \ rightarrow \ rho e ^ {i (\ theta + \ phi (x))} [/ math]

[math] \ bar {z} \ rightarrow \ rho e ^ {- (i \ theta + \ phi (x))} [/ math]

Su producto:

[math] \ bar {z} z = \ rightarrow \ rho e ^ {- i (\ theta + \ phi (x))} \ rho e ^ {i (\ theta + \ phi (x))} = \ rho ^ 2 [/ math]

Pues maldita sea, sigue igual, otra vez. Esto se está poniendo aburrido.

Pero espera. Echemos un vistazo a otra cosa. En lugar de ver un término como z ^ 2, echemos un vistazo a [math] \ frac {d} {dx} \ bar {z} \ frac {d} {dx} z [/ math]. (Supongamos ahora que z es un campo, una función de x y no simplemente un número). Bajo este cambio de fase local, obtenemos:

[math] \ frac {d} {dx} z \ rightarrow \ frac {d} {dx} ze ^ {i \ phi (x)} = e ^ {i \ phi (x)} (\ frac {d} { dx} z + z \ frac {d} {dx} \ phi) [/ math]

Ahora el producto será:

[math] \ frac {d} {dx} \ bar {z} \ frac {d} {dx} z \ rightarrow [/ math] [math] \ frac {d} {dx} \ bar {z} \ frac { d} {dx} z + z ^ 2 (\ frac {d} {dx} \ phi (x)) ^ 2 [/ math]

Si lo resuelves. Entonces, de repente, tenemos un nuevo término. ¿Qué significa esto? Podría significar que una cantidad como [math] \ frac {d} {dx} \ bar {z} \ frac {d} {dx} z [/ math] es inútil en primer lugar, pero no lo es (si z fuera la posición yx la hora, entonces de repente casi tienes la energía cinética aquí). Podría ser que la idea de un cambio de fase local fuera un paso en falso y simplemente tengamos que abandonar esa idea (y luego intentar medir el cambio de fase en diferentes lugares, lo que no podemos, por lo que tampoco es una buena explicación). ).

Pero también puedes hacer otra cosa. No profundizaré en esto (principalmente porque escribirlo todo es un poco de trabajo, no recuerdo todos los detalles y es mejor que lo busques si estás realmente interesado). Al igual que la energía cinética no es el único tipo de energía, el término [math] \ frac {d} {dx} \ bar {z} \ frac {d} {dx} z [/ math] a menudo no es lo único eso es importante. También hay otros términos importantes. Entonces, ¿qué pasa si podemos encontrar una manera de cambiar esos otros términos de tal manera que el término adicional de esta parte cinética se niegue exactamente? ¡Entonces toda la expresión sería invariante en el cambio de fase local!

Resulta que puedes hacer esto. Sin embargo, de repente, cada término que tienes no solo depende de z, sino que también dependerá de [math] \ phi (x) [/ math]: al exigir (por razones físicas) que un cambio de fase local es indetectable, hemos tenido que cambiar la configuración y ahora tenemos dos campos, [math] z [/ math] y [math] \ phi [/ math].

Luego puede hacer lo que normalmente hace con una teoría, derivar cantidades y caminos para sus campos / partículas, pero ahora también para el nuevo campo [math] \ phi [/ math]. He aquí que el campo [math] \ phi [/ math] se comporta exactamente igual que los campos electromagnéticos (o más bien, se comporta como los potenciales de los campos electromagnéticos. Los cuales a menudo tienen demasiada libertad y se pueden medir , de ahí ese nombre ), y así la partícula que es el portador de la fuerza electromagnética, el fotón, está vinculada al campo [math] \ phi [/ math].

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Por lo tanto, un campo de indicador es un campo que aparece en su modelo porque exige que su modelo sea invariable a algún tipo de transformación (transformación de indicador). Una transformación del indicador es local, lo que significa que depende del punto en el espacio-tiempo. Esto también se conoce como una simetría local.

El ejemplo de la transformación de fotón / fase local es extremadamente simple. El campo z original es un escalar (aunque complejo). Y así, solo tenía sentido tratar de multiplicarlo con una fase (también un escalar). Los campos más complicados no son escalares sino vectores (u objetos similares a los vectores). Y puedes hacer cosas más complejas con ellos. En lugar de multiplicarse con una fase escalar, ¿por qué no probar una matriz completa?

Hay muchas opciones, pero la gente golpeó el oro. De una manera similar a la forma en que introducimos los fotones en un modelo (es decir, exigimos invarianza de fase local), también puede obtener los portadores de fuerza de los débiles y la fuerza fuerte en los modelos. Todos estos portadores de fuerza son partículas bosónicas y, por lo tanto, se denominan bosones gauge.

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Versión de TLDR: Se requiere que los modelos (por razones físicas) tengan ciertas simetrías (o que sean invariantes en una transformación), una de esas simetrías es la simetría gauge. Tal simetría indica una transformación (diferente) en cada punto espacio-tiempo. La exigencia de que un modelo sea invariante en esta transformación (es decir, es invariante de calibre) da lugar a un campo adicional (calibre) en su modelo. Por alguna razón (desconocida para mí), ciertos campos de calibre diferentes corresponden a lo que consideramos los portadores de fuerza para el electromagnetismo (el fotón), la fuerza débil (bosones W) y la fuerza fuerte (gluones).

Answer 2

Este es uno de los conceptos que es realmente difícil de explicar sin perderse en las matemáticas, pero permítame intentarlo de todos modos.

¿Qué queremos decir con una teoría que es “invariante”? Por qué, significa que la teoría, más específicamente las ecuaciones que representan la teoría, permanece sin cambios bajo alguna transformación.

Cuando escribes, digamos, las ecuaciones de movimiento de una bala de cañón, lo haces usando un sistema de coordenadas. Este sistema de coordenadas tiene que comenzar en alguna parte; un punto relativo al cual comienzas a medir las direcciones x , y , z . Sin embargo, las ecuaciones en sí mismas no cambian solo porque usa un origen diferente para el sistema de coordenadas. Por supuesto, tiene que ser coherente, no puede cambiar el origen de forma involuntaria sobre la marcha; pero las ecuaciones tienen una forma general en la que la ubicación del origen no desempeña ningún papel.

Para entenderlo un poco mejor … suponga que calcula la cantidad de energía que gana una bola de cañón al caer a 100 metros. Realmente no importa cómo mida los dos puntos finales de la ruta de ese objeto. Tal vez usted esté a 1000 metros sobre el nivel del mar, por lo que la caída es de 1,100 a 1000 metros. O tal vez lo estés midiendo en relación con el fondo del océano, por lo que es algo así como 12,100 a 12,000 metros. O en relación con un punto en el Monte Everest, tal vez de -7,700 a -7,800 metros. No importa, ya que lo único relevante es la diferencia entre estas coordenadas verticales, no sus valores reales, y en todos los casos, la diferencia es de 100 metros.

Por lo tanto, existen todas estas formas geométricas obvias de invariancia: invarianza bajo una traducción en cualquier dirección, o bajo una rotación alrededor de un eje arbitrario.

Pero para algunos fenómenos físicos, hay otras invariancias que no están directamente conectadas con la geometría. Tomemos las ecuaciones del electromagnetismo, por ejemplo. Se pueden expresar en una forma muy elegante en la que en la raíz de todos los fenómenos electromagnéticos hay una cantidad de 4 dimensiones llamada potencial de 4. Ahora aquí está la cosa: el valor de este potencial de 4 no es único. Se puede cambiar de ciertas maneras, y la física sigue siendo la misma como resultado. Esto no es una rotación, una traducción o cualquier otra cosa que tenga que ver con la geometría; es una propiedad “interna” del potencial 4 que, bajo ciertas transformaciones, conduce a las mismas ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo. Esta invariancia del potencial 4 se denomina invariabilidad gauge (global).

Hay algunos teoremas hermosos en física que relacionan dicha invariancia (global) con las leyes de conservación. Por ejemplo, una teoría que es invariante en las traducciones de tiempo (es decir, en las ecuaciones no importa qué momento use como punto de partida para el tiempo; solo diferencias en la materia de tiempo) es una en la que se conserva la energía.

Utilicé el adjetivo “global” porque en todos los ejemplos anteriores, la transformación debía aplicarse de manera uniforme en todas partes. Sin embargo, hay algo aún más desagradable que se puede hacer con estas ecuaciones. Es posible aplicar una transformación de tal manera que la magnitud de la transformación cambie de un punto a otro. No es uniforme. Ahora, ¿por qué demonios querría hacer esto, preguntas? Debido a que es posible hacer que las ecuaciones sean invariantes incluso bajo una transformación local , pero hay un precio que pagar: las ecuaciones solo pueden permanecer invariantes si contienen ciertos términos que se comportan de cierta manera.

Como resultado, estos términos representan fuerzas . Un cambio en una transformación local equivale a un cambio en la magnitud de la fuerza correspondiente; Las ecuaciones siguen siendo las mismas.

Entonces, para recapitular, una invariancia bajo una transformación global equivale a una ley de conservación; una invariancia bajo una transformación local equivale a una fuerza.

Como resultado, estas invariancias locales desempeñan un papel esencial cuando intentamos avanzar hacia la teoría cuántica. Solo las teorías que, entre otras cosas, son invariantes en algunos procesos de transformación (local) pueden ser controladas de tal manera que producen resultados sensibles en lugar de infinitos sin sentido. La versión cuántica de la teoría electromagnética, por ejemplo, es una teoría “renormalizable” en parte porque la teoría clásica subyacente tiene la invarianza gauge local que describí.

Bueno, eso es todo lo que puedo hacer sin los cálculos … espero que ayude.

Answer 3

El término proviene originalmente de la teoría de campo clásica. La relatividad general es una teoría de este tipo y muestra que se puede pensar en un campo gravitatorio como un “escalamiento” de la métrica del espacio-tiempo. Así, otros pensaron que el electromagnetismo también podría tener ese origen.

En la Teoría cuántica de campos, resulta que puedes generar los potenciales electromagnéticos al “reescala” del espacio de amplitudes cuánticas de campo; sin embargo, no es un número real el que ‘extienda’ este espacio sino un número imaginario, y es en el espacio vectorial de Hilbert donde residen las amplitudes de probabilidad de electrones, o función de onda.

Este es un reajuste de número complejo que equivale a un cambio de fase local para la función de onda. Esta amplitud, cuando está cuadrada, elimina el efecto de la fase si es la misma globalmente, en todo el espacio-tiempo. Sin embargo si cambia de un punto a otro; luego la escala afecta el ‘potencial’ del espacio y genera el campo E / M.

En el modelo estándar, el complejo escalar se reemplaza por una estructura más compleja que se ve mejor en su representación matricial. Aquí hay un álgebra no conmutativa involucrada y esto genera los otros campos del modelo estándar. La invariancia gauge es quizás un nombre bastante desafortunado; Nos impone la historia, ya que la escala está realmente asociada con los cambios de fase de la función de onda; ahora no se asocia con una escala del espacio-tiempo clásico como se postuló originalmente.

Answer 4

Tienes algunas respuestas muy buenas; Voy a intentar ofrecer una (incluso) menos técnica.

Como dijo Viktor T. Toth, es muy similar a la diferencia entre los valores absolutos y relativos de la altura. Si quieres saber qué tan rápido vas cuando llegas al fondo de un tobogán, no importa si vas de 5 metros a 0 metros, o de 3,005 metros a 3,000 metros. Es la diferencia lo que importa; Es invariante con respecto a la altura absoluta.

Las ecuaciones que gobiernan las partículas son ondas, y hay una noción similar en una onda: un ciclo puede llevarlo de un lugar a otro, o de un pico a otro, pero ambos son “un ciclo”. La diferencia entre un canal o un pico o en algún lugar intermedio se denomina “fase”. Y las ecuaciones son invariantes con la fase: puede cambiar la fase sin cambiar el comportamiento de la partícula … siempre que ajuste la fase de todo lo demás en el universo para que coincida. Es el equivalente a cambiar todo el paisaje.

Ahora, el verdadero truco fue que alguien * descubrió que este “cambio” puede ser una cosa real: puede cambiarlo localmente sin cambiarlo globalmente, y la diferencia aparece como una “fuerza”. Llamaron a ese cambio de escala un “indicador”, y la teoría resultante tiene una “invariancia de indicadores”. La fuerza resultante corresponde exactamente a los campos electromagnéticos.

Luego hubo una victoria cuando alguien más ** aplicó la misma idea a una escala más complicada, con más de una dimensión, y resulta que describe la “fuerza fuerte” que mantiene unidos a los átomos. Realmente ya no es un “indicador”, pero el nombre se atascó. Después de un poco más de trabajo, esto finalmente resulta en el conjunto de fuerzas que conforman el Modelo Estándar de Física de Partículas.

Uh … esto resultó ser más largo de lo que esperaba, incluso a este nivel. Lo siento.

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* Hermann Weyl, Vladimir Fock y Fritz Londres, para ser precisos.

** Chen Ning Yang y Robert Mills

Answer 5

No es muy fácil de explicar sin muchas matemáticas, pero lo intentaré. En em, en lugar de tratar con campos E y B, es más conveniente tratar con potenciales: phi y A (potencial escalar y vectorial). E y B están determinados únicamente por phi y A, pero, dados E y B, existe un conjunto infinito de phi y A. Por lo tanto, la elección de phi y A es arbitraria y la física es independiente de la elección particular de phi y A que hacemos Esto se denomina invariabilidad de los indicadores y las ecuaciones de Maxwell pueden derivarse suponiendo que la física es invariante en esta elección de indicadores. (Técnicamente, comenzamos con un calibre relativista invariable de Lagrangian, del cual siguen las ecuaciones de Maxwell).

Hay una libertad similar en la mecánica cuántica: la fase de una función de onda es arbitraria. Si tomamos la función de onda de un electrón que satisface la ecuación de Dirac, esta invarianza de fase es obvia. Sin embargo, podemos intentar extender esta invariancia asumiendo que podemos elegir la fase de la función de onda arbitrariamente en cada punto en el espacio-tiempo. Cuando hacemos esto e insistimos en que la física sigue siendo invariante en esta elección, nos vemos obligados a introducir un potencial de vector escalar, que tiene precisamente la invariabilidad de los instrumentos clásicos. Por lo tanto, al insistir en la libertad de seleccionar una fase arbitrariamente en cada punto en el espacio-tiempo, se introducen automáticamente los potenciales, la forma en que interactúan con un electrón y las ecuaciones que los gobiernan, es decir, obtenemos automáticamente la historia completa de cómo un electrón interactúa con el campo em Esa es la razón por la que los llamamos como una teoría gauge.

Sobre la base del tremendo éxito de QED (electrodinámica cuántica), los científicos se dieron cuenta de que podíamos ver otras invariantes de las funciones de onda e insistir en la invariancia de la física en las transformaciones locales. Por ejemplo, podría imaginar que una función de onda es una función de onda ordinaria que se desplaza por una dirección en un espacio tridimensional interno; La física sería invariante bajo la elección de esta dirección en el espacio; hacer que la física sea invariante al elegir esta dirección de forma independiente en cada punto del espacio-tiempo introduciría automáticamente nuevos tipos de campos y la descripción de sus interacciones. (Técnicamente, tal teoría se denominaría teoría de calibre SU (2), mientras que EM se llama teoría de calibre U (1)).

¡Espero que esto ayude!

Answer 6

La diferencia del paso del tensor métrico de Christoffel entre la métrica local en GR, los Yang Mills cuánticos tienen tensor de Weyl (como campo de conformación que puede cambiar la longitud del vector)

compensar la diferencia entre 3 agujeros negros micro locales cuánticos pulsantes en Planck, protón, escala atómica como haz de fibras en la esfera de Riemann de 6 dimensiones, donde la fuerza electromagnética fuerte y débil actúa sobre ella, ya que el bosón de Goldstone tiene una fase desde la oscilación en la parte inferior del sombrero, en la parte superior tiene energía de 3 etapas de agujero negro, pero no tiene masa, el agujero negro adquiere masa para ellos, por lo que la fuerza 3 tiene velocidad de luz y masa, trabajo de campo cuántico Yang Mills, debido a la simetría global local del agujero negro roto, uso la corriente neutra del neutrino como graviton hace que la simetría global de GR nuevamente, un gran número (10 ^ 13) de neutrino (10 ^ -8) igual al fotón de la oscilación de los electrones.