¿Habrá alguna vez una teoría fundamental de las matemáticas similar a la que luchan los físicos?

Answer 1

Voy a argumentar el punto opuesto exacto de todas las respuestas anteriores: no solo podemos dar un sentido a lo que es una teoría que abarca todo en matemáticas, sino que ya existe, y ya tiene, durante cien años.

A finales del siglo pasado, los matemáticos tenían la esperanza de unificar todas las matemáticas en el sentido preciso de crear un único lenguaje formal, un conjunto único de axiomas, en el que pudieran construirse todas las demás construcciones matemáticas posibles. Álgebra, geometría, análisis: todas estas cosas serían simplemente ejemplos concretos de lo que podrías construir en esta teoría.

Ahora, desafortunadamente, este sueño no debía ser (como lo señaló Akshat Mahajan), ya que Godel demostró que para cualquier sistema axiomático lo suficientemente fuerte como para expresar aritmética, siempre debe existir una declaración que sea independiente de los axiomas existentes, es decir, podría asuma esta afirmación o lo contrario, y ninguno de ellos resultaría en una contradicción.

Esto fue ciertamente un duro golpe para Hilbert, quien había incitado a esta búsqueda, pero la verdad del asunto es que hizo muy poco para cambiar la forma en que operaban los matemáticos día a día. De hecho, esencialmente todas las matemáticas ahora descansan sobre una sola base: la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.

Los axiomas de ZFC no pueden permitirte describir cada propiedad individual de los conjuntos (porque, de nuevo, Godel demostró que esto es imposible), pero te permiten capturar tanto que básicamente no importa. Casi todas las preguntas que a cualquiera le importa se pueden responder en ZFC. Hay excepciones, sin duda (el problema de Whitehead viene a la mente), pero la respuesta habitual de un matemático a tal situación es encogerse de hombros, contentarse con saber que el problema es indecidible y continuar trabajando en ZFC. Los teóricos establecidos son los matemáticos raros para los cuales no puedo asegurarme de las afirmaciones, pero están en la minoría.

Ahora, para estar seguro, nadie trabaja realmente con los axiomas de ZFC directamente (excepto quizás el Axioma de elección), pero hay algo de tranquilizador en saber que, si realmente quisieras, podrías sentarte y obtener todos tus resultados de la primera. principios Eso es lo más cerca que las matemáticas pueden llegar a una teoría que abarca todo, y creo que hace un trabajo bastante bueno.

Answer 2

Solía haberlo.

David Hilbert, en los comienzos de la década de 1900, propuso crear un conjunto único de axiomas consistentes que reproducirían todas las matemáticas. Nadie había intentado esto antes; la aritmética y la geometría, por ejemplo, utilizaban axiomas completamente diferentes.

Para ese fin, enumeró veintitrés problemas ambiciosos cuya solución, creía, permitiría a los matemáticos lograr esta gran unificación de las matemáticas bajo un paraguas común.

Por desgracia, esto no iba a ser. En la siguiente década, más o menos, Godel probó su teorema de incompletud, lo que demuestra que no se puede tener un conjunto de axiomas completo (capaz de reproducir todo) y simultáneamente consistente. En otras palabras, siempre habrá problemas que no tienen solución con sus axiomas elegidos. Sorprendentemente, se demostró que uno de los veintitrés problemas en el programa de Hilbert era uno de estos problemas “sin solución”, lo que supuso un golpe fatal para el programa.

Dice algo cuando se puede probar que la unificación bajo un conjunto común de axiomas es imposible.

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Los matemáticos hoy en día no tienen tales grandes sueños. Quizás el más cercano sea el programa Langlands, que simplemente busca encontrar conexiones interesantes entre las diferentes ramas de las matemáticas; la idea más famosa desarrollada en su ámbito es la conjetura de Taniyama-Shimura, probada por Andrew Wiles como el paso más importante en su prueba de Fermat. último teorema.

Pero ciertamente esas no son las únicas cosas que hacen avanzar a los matemáticos. Hay algunas preguntas realmente interesantes que a la mayoría de los matemáticos les gustaría responder, todas las cuales son problemas del Premio Millenium. Hay muchos problemas con los premios que no son del Millenium que también son atractivos para los matemáticos.

La unificación es un sueño imposible en matemáticas, pero hay mejores actividades por ahí.

Answer 3

La búsqueda de la certeza matemática comenzó con las formulaciones de Frege de la lógica matemática, y terminó con el teorema de incompleto de Godel.

Las matemáticas en su base tienen que ver con los sistemas de lenguaje formal y su relación con los objetos matemáticos. Cuando surgen patologías y aparentes contradicciones en matemáticas, los matemáticos crean nuevos objetos matemáticos, expandiendo el lenguaje y expandiendo la colección de objetos matemáticos.

La física es diferente. Físicos de la física del terreno para la experimentación y observación. Los físicos usan las matemáticas, pero tienen diferentes problemas que los matemáticos. Debido a esto, la física es la ley como su núcleo.

Pasar a una teoría de todo en la física sería una nueva teoría, desde los primeros principios, que describiría todas las leyes conocidas como casos especiales y haría predicciones comprobables de observaciones futuras.

Answer 4

1) En teoría?
No. En 1931, el teorema de incompletitud de Godel demostró que esto es imposible.

2) En la práctica?
La teoría de Zermelo-Frankel Set con el axioma de elección, que se unió a principios del siglo 20, es una base suficiente para prácticamente todas las pruebas que a un matemático moderno le interesaría.

3) ¿Similar a lo que los físicos luchan?
Recuerde que las matemáticas y la física utilizan procesos de inferencia fundamentalmente diferentes, el primero es deductivo y el segundo es inductivo.

Los físicos buscan encontrar un solo modelo matemático que represente fielmente todos los datos que ven, por lo que están buscando un modelo matemático unificado que se ajuste a los datos del mundo real.

Ya sabemos por 1) que no hay un modelo formal único para las matemáticas que lo capte todo, que no es lo que a la matemática le preocupa en estos días. Las matemáticas se ocupan de qué inferencias se pueden hacer acerca de ciertas clases de objetos matemáticos. Y un subcampo de las matemáticas es un conjunto de inferencias sobre un cierto subconjunto de objetos matemáticos. Los matemáticos buscan conexiones entre subcampos todo el tiempo. Pero cuando un matemático ‘conecta’ dos subcampos de matemáticas, lo hace creando un conjunto de inferencias sobre un subconjunto de objetos matemáticos, es decir, está creando un subcampo de matemáticas completamente nuevo . Un subcampo que potencialmente podría tener conexiones a subcampos existentes. Esto sería como si sus puentes necesitaran puentes entre ellos, incluso los puentes que conectan puentes.

Así que los matemáticos modernos están buscando conexiones entre subcampos muy dispares de matemáticas, pero como resultado no se acercan más a una “teoría unificada” de las matemáticas.

Answer 5

Matemáticas describe lo que necesita describir. La “unificación” no tiene sentido porque estudia y describe lo que quiere y necesita.

La física busca modelar fenómenos y procesos físicos, usando las matemáticas. Lo que significa unificación es encontrar un modelo matemático que explique varias cosas diferentes al mismo tiempo.

Answer 6

No. El concepto ni siquiera tiene sentido.

Los físicos saben lo que quieren unificar:

• Gravitación
• La fuerza fuerte
• La fuerza débil
• Electromagnetismo

Los matemáticos no tienen tal lista.

Answer 7

No. Las matemáticas tienen en su interior muchas teorías que son contrarias por pares. Por ejemplo geometría elíptica y geometría hiperbólica. Hay muchos “universos” matemáticos. Solo hay un universo físico en el que todos vivimos.