¿Qué tamaño tiene una gota de agua antes de caer? Aprendiendo y Estudiando para siempre

Esta es una pregunta bastante fascinante. Estaba a punto de dormir, pero vi esto y tuve que intentarlo.

Hay dos interpretaciones de esta pregunta por lo que puedo ver. Podría estar hablando de qué tan grande es una gota de agua en una nube antes de que caiga, o (lo que es más interesante) qué tan grande puede llegar a ser una gota de agua de algo como una bureta o un grifo.

Lo primero es lo primero: el caso de la nube. Las gotas de agua en una nube siempre están cayendo. Al ser muy pequeños (y, por lo tanto, livianos) pero con un área de superficie relativamente grande, tienen una velocidad terminal muy baja. Por lo tanto, solo se necesita una pequeña corriente ascendente para mantenerlos suspendidos en el aire, y en ausencia de una corriente ascendente, todavía se puede suspender durante mucho tiempo.

Para ver qué tan rápido cae una gota de lluvia, podemos considerar su equilibrio de fuerzas. Las principales fuerzas entre el sistema de la gota de lluvia y el sistema de los alrededores son 1) la gravedad y 2) la resistencia.

En primer lugar, dado que es probable que la caída caiga algo lentamente, podemos suponer que el flujo es laminar. Para verificarlo podemos calcular el número de Reynolds del flujo. Esto viene dado por: [math] Re = \ frac {fuerzas inerciales} {fuerzas viscosas} = \ frac {\ rho _ {aire} v L} {\ mu} [/ math] donde [math] Re [/ math] es el número de Reynolds, [math] \ rho _ {air} [/ math] es la densidad del fluido (en este caso aire), v es la velocidad del objeto a través del fluido, L es la longitud característica del objeto y [math] \ mu [/ math] es la viscosidad dinámica del fluido. Tomando la densidad como 1.229 kg m ^ -3, la viscosidad dinámica como 1.73 x 10 ^ -5 N sm ^ -2 y aproximando v como en el orden de 1 cm s ^ -1 y L como 1 mm, obtenemos un número de Reynolds de ~ 0.7, lo que significa que el flujo es decididamente laminar.

Por lo tanto, podemos usar convenientemente la ley de Stokes que se aplica a esferas pequeñas en un fluido viscoso. Esto indica: [math] F_ {drag} = 6 \ pi \ mu R v [/ math] donde [math] F_ {drag} [/ math] evidentemente arrastra la fuerza y R es el radio de la esfera. Como a la velocidad terminal [math] F_ {arrastre} = F_ {grav} = \ rho _ {water} (\ frac {4} {3} \ pi r ^ {3}) g [/ math], entonces podemos obtener una expresión para la velocidad terminal en términos del radio de la caída: [math] v_ {terminal} = \ frac {2} {9} \ frac {\ rho _ {water} g} {\ mu} R ^ {2 } [/ math] (esto es lo más cercano que se puede obtener como respuesta a “cuando la gota empiece a caer”. Elija una velocidad mínima en la que considere que la gota de agua esté cayendo y conéctela a la ecuación para obtener la volumen (“cuán grande”), o viceversa si lo desea.)

En segundo lugar, lo segundo: una gota de agua de una bureta / cualquier otra cosa que dispense agua. Después de una pequeña consideración, uno puede comenzar a ver que esta no es una aplicación directa de leyes conocidas como la anterior, que es donde se pone interesante. Este es un equilibrio de fuerzas entre la tensión superficial que mantiene la gota hacia arriba y la gravedad que tira de la gota hacia abajo. El problema radica en que la forma de la gota es difícil de encontrar. La forma no solo afecta el volumen y la longitud de la gota, sino también la magnitud de la tensión superficial en cada corte horizontal de la gota y el ángulo en el que actúa la tensión superficial . Como la gota es cilíndricamente simétrica, cualquier componente horizontal de la tensión superficial se cancelará, y el componente vertical es lo que queda.

Primero, note que el radio del grifo importa . Solo imaginando unos pocos escenarios te convencerá de este hecho. Por ejemplo, imagina una aguja que empuja lentamente un cordón de líquido muy delgado en la parte superior que se vuelve más grueso hacia abajo, en comparación con el agua que sale de un grifo (relativamente mucho más grande), que parece ser ancho en la parte superior y se adelgaza un poco más hacia abajo . Para el tratamiento matemático posterior, deje que este radio del grifo sea [math] r_ {0} [/ math].

Ahora podemos empezar a formular una ecuación. Definamos el origen en la boca de la llave, y [math] h [/ math] (para “altura”) como una distancia que aumenta hacia abajo desde el origen. Suponiendo que la gota sea cilíndricamente simétrica, ahora solo necesitamos un radio [math] r [/ math] en cada altura [math] h [/ math] para describir la forma completa de la gota. Definamos [math] h_ {f} [/ math] para significar la altura en la parte inferior de la gota, para mayor comodidad.

¡Bueno! Cortar la caída horizontalmente a cierta altura h. En cada rebanada posible, para que la caída siga siendo estable, la fuerza de la tensión superficial está dada por [math] F_ {surf} = (2 \ pi r) \ gamma cos (\ theta) [/ math] donde [math ] \ gamma [/ math] es la tensión superficial del agua, y [math] \ theta [/ math] es el ángulo de la tangente a la superficie del agua a la altura [math] h [/ math], ángulo medido desde la vertical. Esto tiene que equilibrar la fuerza de la gravedad, [math] F_ {grav} = mg = \ rho V g = \ rho g \ int_ {h} ^ {h_ {f}} \ pi r ^ {2} dh [/ math ]. Considere que [math] tan (\ theta) = – \ frac {dr} {dh} [/ math]. Por lo tanto, [math] cos (\ theta) = \ sqrt {\ frac {1} {(\ frac {dr} {dh}) ^ {2} +1}} [/ math]. Al igualar la fuerza de la tensión superficial y la fuerza gravitacional, y reorganizar un poco, obtenemos la ecuación: [math] \ rho g \ int_ {h} ^ {h_ {f}} \ pi r ^ {2} dh = (2 \ pi r) \ gamma \ sqrt {\ frac {1} {(\ frac {dr} {dh}) ^ {2} +1}} [/ math].

Mi física es pasable pero mis matemáticas no, así que no puedo resolver esta ecuación. Cualquier comentario sobre el tratamiento matemático adecuado aquí, o cualquier error hasta el momento, son muy bienvenidos. En cualquier caso, es equivalente (más o menos, no está seguro de cómo cuidar los límites) a un segundo orden, desafortunadamente inhomógeno, desafortunadamente ecuación diferencial no lineal. Para las condiciones iniciales, podemos considerar que cuando [math] h = 0 [/ math], [math] r = r_ {0} [/ math], y que [math] \ frac {dr} {dh} [/ math ] es infinito / indefinido en [math] h = h_ {f} [/ math].

Para este tipo de ecuación, una solución analítica no siempre es posible (e incluso si lo es, por lo general es muy difícil) y es probable que esté más allá de mis poderes intentar resolver, incluso si no estuviera tan privado de sueño. Pero, dado un volumen [math] V = \ int_ {0} ^ {h_ {f}} \ pi r ^ {2} dh [/ math], uno puede calcular numéricamente las soluciones para r en función de h, Obtención de la forma de la gota. La V más pequeña para la que no existe ninguna solución para r en función de h es el volumen máximo de la gota , ya que ninguna solución indica que la tensión superficial y las fuerzas gravitacionales no pueden ser equilibradas y, por lo tanto, la gota sufre una aceleración neta, es decir, la caída. . Repitiendo esto para valores múltiples de [math] r_ {0} [/ math] le dará el mayor volumen posible para una gota para cada radio de faucet, resolviendo para todo tipo de contenedores.

Como todas las variables relevantes están en la ecuación, tiene la flexibilidad de variar la tensión superficial (en el caso del agua jabonosa) o la densidad del agua (por ejemplo, agua salada) o incluso la aceleración gravitacional (hacerlo en Marte). La única condición (para el caso de la nube) es que el número de Reynolds debe ser bajo (dominan las fuerzas viscosas) o, de lo contrario, se debe utilizar una ecuación de arrastre diferente.

Espero haber respondido a esta pregunta de manera integral. Cualquier comentario sobre mis métodos es bienvenido, especialmente sobre el modelado y el tratamiento matemático (o, el horror de los horrores, un error por descuido).

Hora de dormir.

EDITAS: Errores menores en la presentación y LaTeX.