¿Cuáles son los errores más fundamentales que fueron adoptados por los genios matemáticos después de la era de Pitágoras en la historia de las matemáticas?

Answer 1

No es tanto una cuestión de errores, sino de carreteras no tomadas.

Los pitagóricos tenían toda una filosofía que interpretaba la esencia de las cosas en términos de proporciones. Así que realmente los lanzó para un bucle cuando uno de ellos mostró que la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con lados de longitud unitaria no se puede expresar como la proporción de dos números. En términos modernos, mostraron la ecuación [math] \ dfrac pq = \ sqrt {2} [/ math], equivalentemente [math] p ^ 2 = 2q ^ 2, [/ math] no tiene solución donde [math] p [/ math] y [math] q [/ math] son ​​números naturales.

Eso fue impactante. Pero el choque se disipó. No estoy exactamente seguro de cómo o cuándo sucedió. Los pitagóricos no dijeron que “[math] \ sqrt {2} [/ math] es un número irracional”. Solo mostraron que no era un número racional. Pero luego nos sentimos cómodos con [math] \ sqrt {2} [/ math] como número, y como no era racional, no era una proporción, se etiquetaba como irracional. Eso nos llevó al hoyo del conejo de los números reales, y desde entonces nunca hemos salido a la superficie.

No tenía que ir por ese camino. Los pitagóricos en su mayoría tenían razón. Los números racionales son un campo perfectamente bueno para hacer geometría. No hay una construcción dudosa de los números reales requeridos. Los pitagóricos podrían haber aceptado que, a menudo, las áreas tienen buenas proporciones cuando sus longitudes implícitas no lo hacen. Eso los habría llevado adecuadamente a concluir que de alguna manera el área es más fundamental que la longitud.

La trigonometría racional, basada en la idea de que en el área de geometría es la cantidad principal, ha sido desarrollada maravillosamente por Norm Wildberger. En lugar de longitudes, cuadrículas, se utilizan longitudes cuadradas. Así que el Teorema de Pitágoras dice que [math] A + B = C [/ math] precisamente cuando [math] A [/ math] y [math] B [/ math] son ​​los cuadrantes laterales y [math] C [/ math] el Hipotenusa cuadratura de un triángulo rectángulo.

La fórmula de Triple Quad pregunta cuál es la relación entre los cuadriláteros formados por un triángulo degenerado, tres puntos colineales. En términos modernos, la tarea es eliminar las raíces cuadradas en [math] \ pm \ sqrt {A} \ pm \ sqrt {B} = \ pm \ sqrt {C}. [/ Math] La ecuación resultante, que es divertida Para derivarse, se llama Triple Quad Formula. Es poco conocido, pero probablemente tan fundamental como el Teorema de Pitágoras. Aquí está:

[math] (A + B + C) ^ 2 = 2 (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2) [/ math]

En el área de Física parece surgir en contextos fundamentales. Cada término en la métrica, por ejemplo [math] ds ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 – {c ^ 2} dt ^ 2, [/ math] es un área. Cuando hacemos unidades naturales de la Velocidad de la Luz [math] c [/ math], Constant de Planck [math] \ hbar [/ math], y Constant’s de Newton [math] G [/ math] primero llegamos al área de Planck ,

[math] A_p = \ dfrac {\ hbar G} {c ^ 3} [/ math]

y luego definir la longitud de Planck

[math] L_p = \ sqrt {A_p} = \ sqrt {\ dfrac {\ hbar G} {c ^ 3}} [/ math]

El área de Planck es en realidad aproximadamente del tamaño de un bit, lo cual es un hecho sorprendente que se descubrió por primera vez en la Física del Agujero Negro. Lo que es especialmente extraño es que un poco, la unidad de información o entropía, es un área, no un volumen.

El tamaño de un agujero negro, conocido como el radio de Schwarzchild, es [math] R = 2MG / c ^ 2. [/ Math] Es el radio del horizonte de eventos esféricos de un agujero negro estacionario, sin carga, estacionario [math] M. [/ math] Una vez dentro del horizonte de eventos, nada, ni siquiera un fotón, puede escapar.

Jacob Bekenstein imaginó un experimento mental en el que arroja un poco de entropía en un agujero negro. Razonó que un poco de entropía era un fotón cuya longitud de onda estaba alrededor de [math] R, [/ math] del tamaño del agujero negro. Mucho más grande que eso y el fotón gira alrededor del agujero negro, como una onda de radio alrededor de un edificio. Más pequeño que eso y hay información adicional sobre dónde entró el fotón en el horizonte.

Un fotón de longitud de onda [math] R [/ math] tiene energía [math] E = hc / R [/ math] o masa equivalente [math] m = E / c ^ 2 = h / Rc. [/ Math] Así que El radio del agujero negro aumentará

[math] \ Delta R = 2mG / c ^ 2 = 2hG / Rc ^ 3 \ quad [/ math] o

[math] 2 R \ Delta R = \ Delta R ^ 2 = 4hG / c ^ 3 [/ math]

La última ecuación dice que el cambio en [math] R ^ 2 [/ math], el cambio en el área, es una constante, alrededor del área de Planck. (El argumento de Beckenstein en realidad no da la constante de proporcionalidad correcta; Hawking lo descubrió). En otras palabras, cada bit de entropía es un área de tamaño constante en la superficie de un agujero negro. Un agujero negro es realmente la forma más compacta de entropía; Agregar más lo hace más grande.

De todos modos, son dos errores que no son del todo, dos caminos que no se toman. Elegimos la longitud y no el área como la medida geométrica primaria, y los reales sobre los racionales como el campo algebraico primario.

Answer 2

A2A: Los errores matemáticos no suelen pasar la revisión por pares a menos que se encuentren en otros campos, como la física. Incluso allí, los errores generalmente se identifican y corrigen en unos pocos meses.

En algún momento, en los años 80 o 90, leí que un par de ptofessors habían trabajado durante décadas para tratar de aplicar la relatividad general, y llegué a la conclusión de que fracasaba matemáticamente en predecir que dos masas se atraían entre sí. Ya no puedo encontrar ninguna mención de eso en ninguna parte. Si tuvieran razón, eso constituiría un gran fracaso de la teoría. Si estuvieran equivocados, después de décadas de investigación cuidadosa, sería un gran fracaso de su parte. Pero a medida que la historia parecía desaparecer, el escenario más probable es que un periodista haya malinterpretado el artículo original, que es extremadamente común.

El único ejemplo que puedo recordar de un error de larga data ocurrió antes y durante la era de Pitágoras. Fue la definición de la palabra axioma , que describía una afirmación con la que nadie podía estar en desacuerdo. Nadie ha compuesto nunca una afirmación de este tipo completamente libre de disensión en las matemáticas, ni siquiera en la lógica. La definición de axioma es diferente hoy en día, aunque la mayoría de los matemáticos todavía citan la definición original de los antiguos griegos.

Answer 3

No he visto muchas críticas en ese sentido. Por ejemplo, el libro de Thomas Kuhn sobre Revoluciones científicas apoya la ciencia por encima de la filosofía, e incluso se sabe que los filósofos golpean la filosofía, al menos desde la época de Kant o Heidegger.

Creo que hay esperanza para la filosofía como una perspectiva, pero a veces requiere un grano de sal.

Para tomar en serio las críticas filosóficas más serias que he planteado, es importante entender que veo la filosofía en parte como una forma de entretenimiento (algo desconcertante). Esto no significa que no sea grave, sino que simplemente requiere una atención considerable si se lo debe ver críticamente.

Por supuesto, la filosofía seguirá siendo crítica en sí misma a su manera, simplemente es que la ciencia no puede ser objetivamente criticada mientras vivimos dentro de la burbuja de la ciencia, así como es imposible criticar la religión dentro de la burbuja de la religión.

Una de las alternativas (¿posibles?), El relativismo no nos dará ninguna manera de interpretar, mientras que otra de ellas, la dialéctica, se considera filosofía y es su propio dominio de crítica, cometiendo una falacia estrafalaria como disciplina si no se la ve de forma discreta. (No estoy implicando matemática discreta aquí, ya que eso posiblemente también sería una falacia oculta o caer bajo la Flecha de Hume desde la perspectiva de los filósofos, lo que significa que no sería útil para el conocimiento sin algunas suposiciones).

Para la mayoría de las personas, esta crítica de las matemáticas y la ciencia será un mal entretenimiento y una “variedad de las cosas” y nada más. Pero para algunos, puede parecer muy interesante.

He incluido una crítica de la aritmética básica, así como el cálculo (que tardó varios años en llegar), y muchos otros aspectos de la ciencia:

Para las críticas, véase: Ciencia: Críticas filosóficas.