¿Cómo podríamos distinguir un universo donde gira la Tierra y otro donde la Tierra no gira, pero el resto del universo gira a su alrededor?

En realidad, esta no es una pregunta completamente “resuelta” en la ciencia, pero la ciencia convencional dice que el marco de rotación estacionario se basa en el marco de rotación neto de toda la materia, es decir, “las cosas ahí fuera se determinan aquí”. Esto se llama Principio de Mach, y hay una buena descripción de él en Wikipedia. En otras palabras, si literalmente todos los demás fragmentos de materia del universo estuvieran girando, el observador “estacionario” notaría una fuerza neta que tiende a separarlos de la misma forma en que un cuerpo giratorio tiende a tener fuerzas internas hacia afuera, por lo que Perspectiva, parecería más que estaban girando y todo lo demás estaba parado. En la Relatividad general, esto se debe al arrastre de cuadros, que se puede observar dentro de sistemas con grandes masas que giran, como los agujeros negros supermasivos. En realidad, este efecto hace que sea imposible permanecer quieto en ciertos lugares del universo porque hacerlo significaría que iría más rápido que la velocidad de la luz en otro marco de referencia.

Absolutamente. Solo un marco de referencia. En la Tierra, parecemos papelería y el sol sale y se pone. Luchamos con el modelo heliocéntrico durante décadas debido a esto.
Se propusieron varios modelos para explicar un sistema solar geocéntrico. Ciclos y epiciclos.

Sí, la fuerza de Corolis está presente solo en uno.

1. Los movimientos de un péndulo de Foucault serían imposibles de explicar.

2. No habría fuerza de coriolis en la Tierra si no girara.

3. Se puede intentar explicar el movimiento retrógrado de los planetas, pero el movimiento de acción no coincidirá con los movimientos reales observados.

Esas son tres grandes razones por las que un Modelo Geocéntrico del universo no funciona y finalmente fue abandonado.