¿Podría explicar intuitivamente por qué la energía cinética de un objeto que es E = 1 / 2mv ^ 2 y el contenido de energía de un objeto que es E = mc ^ 2 son tan similares, y cuál es la comprensión verbal / intuitiva de por qué el contenido de energía de la masa ¿Es doble la energía cinética?

Answer 1

Esto suena tonto, pero los dos están relacionados porque son de la misma fórmula. Para ser más específicos, (y corregir un malentendido), hablemos de la relatividad.

Imagina una partícula con masa [math] m [/ math] y energía total [math] E_T [/ math]. Relativamente,

[math] E_T = \ gamma mc ^ 2 = \ underbrace {mc ^ 2} _ \ text {mass} + \ underbrace {(\ gamma-1) mc ^ 2} _ \ text {kinetic energy} [/ math]
Esa energía total de la partícula es la suma de la energía de masa en reposo más su energía cinética (muy informalmente, partícula libre, descuidando otros términos). El [math] \ gamma [/ math] es el factor de Lorentz, dependiendo de la velocidad

[math] \ gamma ^ 2 = \ frac {1} {1 – \ beta ^ 2} \ qquad \ beta = \ frac {v} {c} [/ math]

Esto siempre es cierto. ¿Qué sucede cuando [math] v [/ math] es lo suficientemente pequeño para que podamos descuidar los efectos relativistas? En otras palabras, [math] \ frac {v} {c} \ ll 1 [/ math]. Vamos a aproximar [math] \ gamma [/ math].
[math] \ gamma = 1 + \ frac {1} {2} \ left (\ frac {v} {c} \ right) ^ 2 + \ mathcal {O} (v ^ 3) \ approx 1 + \ frac { 1} {2} \ left (\ frac {v} {c} \ right) ^ 2 [/ math] [1]

Vuelva a conectar esto a nuestra expansión de energía total (descubra qué es esta energía total en el límite no relativista)

[math] E_T \ approx mc ^ 2 \ left (1 + \ frac {1} {2} \ left (\ frac {v} {c} \ right) ^ 2 \ right) = \ underbrace {mc ^ 2} _ \ text {masa en reposo} + \ underbrace {\ frac {1} {2} mv ^ 2} _ \ text {cinética} [/ math]
Y tada. Vemos que, asumiendo que no podemos aprovechar directamente la energía de la masa en reposo, la energía total de la partícula que se mueve a una velocidad no relativista [math] v \ ll c [/ math] será

[math] E_T = \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ math]

que es exactamente la energía cinética con la que estamos familiarizados.

[1] serie expandir 1 / sqrt (1-x ^ 2) en x = 0

Para una explicación más intuitiva de las otras partes, vea la respuesta de Mark aquí: ¿Cómo puedo entender visualmente qué hace que el nivel de energía de un objeto crezca de forma cuadrática con la velocidad mientras que su impulso solo crece de manera lineal?

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Masa de reposo versus energía total

Esto es una cosa clave que mucha gente arruina. Es un problema muy sutil cuando el idioma inglés se encuentra con la física. Definamos masa en reposo: la masa de una partícula en su marco inercial (marco en reposo). Recordemos los 4 vectores

[math] \ textbf {P} = (E, c \ vec {p}) [/ math]

donde por definición (invariante lorentz)

[math] | \ textbf {P} | ^ 2 = (mc ^ 2) ^ 2 = E ^ 2 – | c \ vec {p} | ^ 2 [/ math]

Ese [math] m [/ math] que ves en la ecuación es la masa invariante. Si observas el marco de reposo de una partícula, entonces [math] \ vec {p} = 0 [/ math]. Así resulta

[math] (mc ^ 2) ^ 2 = E ^ 2 \ qquad \ Rightarrow \ qquad E = mc ^ 2 [/ math]

Esto significa, en cualquier otro marco inercial, debemos tener

[math] (mc ^ 2) ^ 2 = (E ‘) ^ 2 – | c \ vec {p}’ | ^ 2 [/ math]

Lo que siempre está relacionado con esa masa de descanso. Esto es completamente análogo a tener un intervalo invariante espacio-tiempo y un tiempo adecuado

[math] (\ Delta \ tau) ^ 2 = (c \ Delta t ‘) ^ 2 – | \ vec {x}’ | ^ 2 [/ math]

Answer 2

Esto puede no ser muy intuitivo, pero en E = mc ^ 2, la m es la masa relativista, no la masa en reposo (para un cuerpo relativista, la masa relativista depende de su velocidad).

Una ecuación más explícita sería E = m_0 * 1 / sqrt (1-v ^ 2 / c ^ 2) * c ^ 2.

Aquí los dos primeros términos constituyen la m en la ecuación anterior. i, e, para un cuerpo que se mueve lo suficientemente cerca de la velocidad de la luz que 1 / sqrt (1-v ^ 2 / c ^ 2) es un factor significativo, la masa parece aumentada por ese factor.

Ahora, si aplica la expansión binomial a esa expresión, el término 1/2 mv ^ 2 es el término variable más significativo.

El término anterior a eso no varía, y un término de energía que no varía en absoluto puede eliminarse (la energía siempre puede expresarse relativamente)

Con velocidades más altas, los términos como v ^ 4 / c ^ 4, que aparecen en los términos de orden superior de la expansión binomial, comienzan siendo significativos, y pronto se necesita la expansión completa para expresar la energía.

Entonces 1/2 mv ^ 2 es una aproximación matemática decente para E = mc ^ 2 que funciona a bajas velocidades.

Answer 3

Considerar esta relación profundamente es como mirar directamente a los ojos de Dios. No es de extrañar que Einstein fuera tan espiritual (en el sentido de Spinozan).

En realidad, fue la respuesta de Jay Wacker a ¿Es la energía solo un tipo de fuerza? Eso fue lo primero que ilustró esta relación para mí (como el mejor empírico de cabeza fría, me disculpo por mencionar a Jay de la misma manera que expreso mi propio apego romántico a todo esto).

Jay dice primero que “la energía puede considerarse como un tipo de impulso (en la dirección del tiempo en lugar de la dirección del espacio)”. Pero luego creo que él continúa ilustrando cómo a velocidades clásicas también es más o menos un impulso en la dirección del espacio también (y estoy listo para disculparme de nuevo si me equivoco).

También encontré que este enlace es muy útil para entender cómo se reduce el impulso de la ecuación de energía a través del teorema del binomio (todavía estoy absorbiendo la respuesta de Giordon, pienso en matemáticas muy lentamente).

Me gusta pensar en esto al menos un poco todos los días. Esto, junto con todo lo que toca, puede ser el único aspecto de la física que me interesa verdadera y profundamente, y que todo lo demás es simplemente un adorno bonito. Su experiencia puede ser diferente.