La ecuación es [math] x \ ln {x} \, \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} + y = 2 \ ln {x} [/ math].
Dividiendo ambos lados por [math] x \ ln {x} [/ math] da [math] \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} + \ dfrac {y} {x \ ln { x}} = \ dfrac {2} {x} [/ math], que tiene la forma [math] y ‘+ Py = Q [/ math].
El factor de integración μ viene dado por [math] \ mu = e ^ {\ int \! P \, \ mathrm {d} x} = \ exp ({\ int \! \ Frac {1} {x \ ln {x}} \, \ mathrm {d} x}) [/ math].
Al usar la sustitución [math] x = \ ln {t} \ Rightarrow \ dfrac {\ mathrm {d} x} {x} = \ mathrm {d} t [/ math] nos da lo siguiente:
[math] \ begin {align} \ mu & = e ^ {\ int \! P \, \ mathrm {d} x} \\ & = \ exp \, \ bigg (\ int \! \ Frac {1} {x \ ln {x}} \, \ mathrm {d} x \ bigg) \ \ & = \ exp \, \ bigg (\ int \! \ dfrac {1} {t} \, \ mathrm {d} t \ bigg) \\ & = e ^ {\ ln {t}} \\ & = t \\ & = \ ln {x} \ end {align} [/ math]
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Sin embargo, si quieres resolver la ED, no creo que esto sea lo que deberías hacer. En su lugar, use la sustitución [math] x = \ ln {t} \ Rightarrow \ dfrac {\ mathrm {d} x} {x} = \ mathrm {d} t [/ math] justo después de obtener el formulario estándar [math ] x \ ln {x} [/ math] da [math] \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} + \ dfrac {y} {x \ ln {x}} = \ dfrac {2} {x} [/ math].
Esto te dará lo siguiente:
[math] \ begin {align} \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} \ dfrac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} x} + \ dfrac {y} {x \, t} & = \ dfrac {2} {x} \\ \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} \ dfrac {1} {x} + \ dfrac {y} {x \, t} & = \ dfrac {2} {x} \\ \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} + y & = 2 \ end {align} [/ math]
Aquí, el factor de integración μ viene dado por [math] \ mu = e ^ {\ int \ mathrm {d} t} = e ^ t [/ math].
Esto nos da la siguiente ecuación:
[math] \ begin {align} \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (ye ^ t) & = 2 e ^ t \\ ye ^ t & = \ int \! 2 e ^ t \, \ mathrm {d} t \\ ye ^ t & = 2 e ^ t + C \ end {align} [/ math]
Devolviendo [math] \ ln {x} = t \ Rightarrow x = e ^ t [/ math] da lo siguiente:
[math] \ begin {align} yx & = 2x + C \\ y & = 2 + \ dfrac {C} {x} \ end {align} [/ math]
Esto podría haber sido de la misma longitud, pero en mi opinión, la manipulación algebraica es más fácil. Además, con esta sustitución, es más fácil detectar el factor de integración sin tener que usar la fórmula, ya que es claramente visible que el lado izquierdo es [math] \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t } (ye ^ t) [/ math].
Espero que esto ayude.