Recientemente obtuve una licenciatura en matemáticas, por lo que puedo ser de alguna ayuda.
La mayoría de las universidades te inician con el cálculo. Una secuencia típica es dos semestres, el primer semestre cubre el cálculo diferencial de una sola variable y el segundo cubre el cálculo integral de una sola variable y posiblemente algunos otros temas. Se vuelve más interesante en el segundo año cuando toma las herramientas que aprendió en el primer año y las aplica a problemas de dimensiones superiores. Sin embargo, tengo que decir que el cálculo fue una de mis cosas menos favoritas en matemáticas, y es una pena que la mayoría de los que no tienen especialización en matemáticas solo sepan realmente acerca del cálculo. Las matemáticas son mucho más grandes que el cálculo.
A partir de aquí, la mayoría de los programas que conozco necesitarán que tomes algebra lineal y ecuaciones diferenciales. El álgebra lineal y las ecuaciones diferenciales son herramientas indispensables para la física, y es probable que aprendas por lo menos un poco de física por osmosis, incluso si nunca tomas una clase de física. Los estudiantes de matemáticas conocen bien los modelos físicos de transferencia de calor, el movimiento de los manantiales, las leyes del movimiento de Newton. Dependiendo de su profesor, también puede aprender algunas aplicaciones de estas cosas a la economía o las finanzas, o la probabilidad y las estadísticas, o algunas otras cosas que tal vez ni siquiera conozca.
Probablemente tengas que tomar un curso llamado algo como “Introducción a las Pruebas Matemáticas”. Por lo general, creo que este es el comienzo de la primera exposición de un estudiante de matemáticas a lo que un matemático podría considerar como “matemática real”. En todas las matemáticas de la escuela secundaria y en la mayoría de los cálculos de primer año e incluso en algunas clases de álgebra lineal, el enfoque está en el cálculo. Aprendes a memorizar y aplicar fórmulas, y reconoces qué números conectar donde y varias secuencias de pasos. Muchos matemáticos ni siquiera considerarían estas cosas “haciendo matemáticas”, más de lo que un autor consideraría deletrear para escribir.
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El enfoque en una clase sobre pruebas matemáticas está en aprender algunas técnicas básicas para hacer argumentos matemáticos, así como en comprender la diferencia entre una conjetura, un teorema, una prueba y, de manera crucial, una prueba incorrecta. Con suerte, también estará expuesto a algunos de los teoremas más importantes e históricos más accesibles en matemáticas: [math] \ sqrt {2} [\ math] es irracional, la cardinalidad, el conjunto de números reales es mayor que la de los números racionales , y así.
Ahora que tienes todo eso fuera del camino, tienes algunas opciones. Es probable que estés preparado para tomar un curso de análisis real, que es un elemento básico de una licenciatura en matemáticas, aunque no todas las universidades lo requieren. El análisis real es algo así como el cálculo de adultos. En cálculo, todo lo que has aprendido en matemáticas de la escuela secundaria de alguna manera culmina en esta gran teoría sobre las tasas de cambio de las funciones de valor real. Resulta, sin embargo, que tan preciso y científico y lógico como parece este sistema cuando lo aprendes en tu primer cálculo de año, realmente no es lo suficientemente preciso para los matemáticos. En una primera clase de análisis real, repasará algunas de las cosas que aprendió en el cálculo, pero con detalles minuciosos, sin dejar piedra sin remover. Por lo general, lo primero que aprenderá en una clase de análisis real es cómo los matemáticos modernos definen exactamente qué es un número real: ¡resulta ser mucho más difícil de lo que cree!
Si no terminas tomando el análisis real introductorio, es probable que termines tomando el álgebra abstracta introductoria, aunque lo ideal es que tomes ambos. El álgebra abstracta es una gran desviación de todo lo que las matemáticas de la escuela secundaria te dicen sobre las matemáticas. En las matemáticas de la escuela secundaria, observas los números, las funciones y las ecuaciones, y este tipo de culminación en el cálculo. El álgebra abstracta se aleja un poco y estudia las estructuras que son comunes a diferentes áreas de las matemáticas. Para darte una idea de lo que quiero decir con esto, una de las primeras cosas que aprendes en álgebra abstracta es un grupo. Un grupo es un conjunto de cosas con las que puedes hacer cosas . Para ser más precisos, un grupo es un conjunto de objetos, junto con una forma de combinar cualquiera de los dos objetos para obtener otro objeto en el conjunto. Eso suena realmente extraño y abstracto, pero en realidad ya estás familiarizado con todo tipo de grupos, y ni siquiera lo sabes. Por ejemplo, el conjunto de todos los enteros ({…, -3, -2, -1, 0, 1, 2,…}) forma un grupo bajo adición: puede combinar cualquiera de los dos enteros juntos sumándolos para obtener un nuevo entero. Otro grupo es el conjunto de números reales positivos en la multiplicación: siempre puedes multiplicar dos números reales para obtener otro número real. Lo bueno de la teoría de grupos es que podemos usar cosas que comenzamos aprendiendo en aritmética elemental sobre grupos como la suma y la multiplicación para razonar sobre grupos completamente extraños y exóticos como grupos de simetría molecular o el conjunto de configuraciones de un Cubo de Rubik.
A mi entender, lo que he descrito anteriormente es el núcleo de un título en matemáticas en la mayoría de las escuelas, pero es probable que tenga que tomar algunas clases más que esto para obtener su título. Los que tomes variarán según tus intereses, pero hay unos cuantos para elegir. También tomé un par de cursos en teoría de números, que es el área de las matemáticas que se ocupa principalmente de los enteros positivos. También tomé algunas clases de Teoría de grafos, que es un área relativamente más nueva de las matemáticas (es decir, su desarrollo se encuentra en los últimos 150 años aproximadamente, las matemáticas son antiguas). La teoría de los gráficos es el estudio de los gráficos, que son objetos matemáticos notablemente simples. Una gráfica es solo un conjunto de cosas , donde algunos pares de las cosas están vinculados . Por ejemplo, puedes hacer un gráfico del conjunto de personas en un aula, donde las personas están vinculadas cuando son amigos. O podría hacer un gráfico de los sectores industriales de la economía, donde diferentes sectores están vinculados si uno de los sectores produce una entrada en el otro. O podrías hacer una gráfica donde las cosas son islas, y se unen si hay un puente entre ellas. Por supuesto, a la teoría gráfica en sí misma no le importa mucho lo que son las cosas, y se enfoca en las propiedades que son verdaderas para todas las gráficas, así que en la teoría gráfica, las cosas se llaman vértices , y los enlaces se llaman bordes. También tomé cursos de probabilidad y estadística, que es donde aprendes a pensar y modelar el comportamiento de cosas que son inciertas.
Hay, por supuesto, muchas y muchas áreas de matemáticas que no cubrí aquí, y muchas más que ni siquiera conozco, pero creo que he mencionado algunas cosas que son bastante típicas. En general, al final de una licenciatura en matemáticas, es de esperar que tengas al menos una pequeña idea de lo que es un campo enorme de matemáticas. Esperemos que también haya desarrollado algunas herramientas analíticas para la resolución de problemas, incluso para cosas fuera de lo que podríamos llamar estrictamente matemáticas. Al finalizar una licenciatura en matemáticas, habrá enfrentado problemas que no tiene idea de cómo resolver cientos de veces: en las tareas, en sus lecturas y en los exámenes, y (con suerte), la mayoría de esas veces que ha Logré abrirme paso y resolví una forma de solucionar estos problemas. Uno espera que esa habilidad y experiencia sea transferible a otras áreas, de modo que haya aprendido no solo acerca de todas las definiciones, teoremas y técnicas en todas estas áreas específicas, sino que haya aprendido una forma particular de pensar. sobre cosas que son propicias para resolver ciertos tipos de problemas.