¿Qué deben saber todos sobre el cálculo?

Esta no es una respuesta completa, pero sentí que necesitaba agregar algunas cosas.

El cálculo incluye la optimización . La palabra “cálculo” no es muy descriptiva para el curso. Cálculo significa un sistema de cálculo, pero usted hace muchos cálculos antes y después del cálculo que pueden no estar relacionados con el cálculo. No queda claro del nombre por qué el cálculo es importante. Ese cálculo incluye la optimización ayuda a explicar por qué los economistas e ingenieros querrían conocer el cálculo. Los ingenieros intentan optimizar los sistemas y los economistas suponen que los agentes económicos intentan optimizar. Las ideas detrás del cálculo son tan importantes en economía que Karl Marx escribió dos manuscritos (los malos, para los estándares modernos) sobre el cálculo.

El cálculo nos da muchas formas de analizar funciones. ¿Podemos aproximar una función como [math] e ^ x [/ math] con un polinomio? ¿Qué polinomio debemos usar y qué tan buena es la aproximación? ¿Cuál es el valor promedio de una función (en un intervalo)? ¿Cómo podemos encontrar los máximos y mínimos, u otros fenómenos como las discontinuidades y los puntos críticos? Si se nos da una función como parte de un modelo matemático, podemos usar el cálculo para analizar las propiedades de ese modelo de manera mucho más precisa que sin el cálculo. Podemos crear modelos matemáticos que estén de acuerdo con algunos criterios cualitativos.

El cálculo universitario puede ser muy diferente del cálculo de la escuela secundaria. Muchos estudiantes no lo saben. Lo hicieron lo suficientemente bien en el cálculo de la escuela secundaria (tal vez obteniendo un 4 o 5 en un examen AP). Cuando se ubican en una clase de cálculo de la universidad, asumen que conocen el material, por lo que no necesitan pasar ningún tiempo en la clase. Luego lo hacen extremadamente mal en la clase de cálculo de la universidad. Particularmente en las mejores universidades, una clase universitaria de primer año sobre cálculo puede abarcar mucho más material, incluyendo pruebas, modelos matemáticos y probabilidad. El tratamiento de secuencias, series y series de potencias puede ser mucho más profundo que en el cálculo de la escuela secundaria. Además, las clases universitarias pueden esperar que los estudiantes retengan un porcentaje mucho más alto de lo que se cubrió del que se necesita para “aprobar” el examen AP.

Todos deben saber que el cálculo es fundamentalmente el estudio del cambio .

Asumiendo un plan de estudios tradicional (diferenciación e integración en una sola variable), el cálculo es típicamente el primer curso de matemáticas verdaderamente “desafiante” que la mayoría de estudiantes de secundaria / universitarios de los EE. UU. Encuentran, ya que requieren que apliquen el conocimiento acumulado de varios años de cursos de matemáticas fundamentales Álgebra, geometría y trigonometría.

Dependiendo del estilo de presentación, el curso puede ser tremendamente riguroso (por lo general, la versión de honores del curso está dirigida principalmente a estudiantes de matemáticas, que ofrece una introducción a los fundamentos teóricos del cálculo, un hilo basado en pruebas que luego se retira). y explorado en profundidad en Real Analysis), o fuertemente basado en aplicaciones (centrándose en técnicas y estrategias útiles de resolución de problemas que pueden emplearse en economía, ciencias naturales (especialmente, y lo más importante, en física), ingeniería y otros dominios que tratan requieren cuantificación de variables dinámicas), o una combinación de ambas.

Algunos temas en el estudio del cálculo de una sola variable pueden incluir conceptos tales como:

  • Límites: ¿cómo se comportan ciertas funciones a medida que una variable alcanza un valor específico?
  • Derivados y tasas de cambio.
  • Cálculo de los valores locales mínimos y máximos que puede tener una función y una concavidad de funciones (¿se curva hacia arriba o hacia abajo?)
  • La noción de un “anti-derivado”
  • Reimann integrales y áreas bajo una curva.
  • Volúmenes de rotación, longitudes de arco y áreas de superficie: cuando la geometría de la escuela secundaria se analiza
  • Secuencias, series y polinomios.

El cálculo fue construido originalmente por Newton y Leibniz (de forma independiente), y sirve como base para varios cursos más de nivel intermedio-avanzado como el cálculo multivariable, el álgebra lineal, las ecuaciones diferenciales y el análisis complejo, después de lo cual el estudiante pasa a los temas de análisis de nivel de posgrado como Parcial Ecuaciones diferenciales o sistemas dinámicos.

Personalmente, encuentro que el cálculo es un tema tremendamente hermoso.

Han pasado casi cinco años desde que tomé una clase formal, pero incluso ahora, me encuentro buscando caprichosamente temas en línea (videos de cálculo) y resolviendo problemas aleatorios de vez en cuando. Las matemáticas son fascinantes y un gran ejercicio para la mente. 🙂

El cálculo es básicamente el estudio del cambio, el cálculo tiene dos partes Integración y diferenciación:

En la diferenciación, tratamos de calcular la tasa de cambio de algo, por ejemplo, la tasa de cambio de desplazamiento con el cambio en el tiempo (dx / dt) es la velocidad. Cuando el cambio en el tiempo es infinitamente pequeño, se lo conoce como el valor instantáneo, ¡este es el valor que se muestra en el velocímetro de su automóvil!
Las fórmulas importantes son la regla del cociente, la regla del producto y debe recordar los derivados de algunas funciones básicas.

Por otra parte, la integración es exactamente lo contrario, ¡por eso también se la conoce como el anti-derivado! Se utiliza para tomar valores pequeños y tratar de extenderlos o extrapolarlos, de modo que si alguien supiera su velocidad de 0 a 2 de tiempo, ¡puede decirle su desplazamiento! Se utiliza para encontrar el área debajo de una curva para que podamos encontrar el área de un círculo usando su ecuación y conectando los límites para que pueda despedirse de recordar todas esas fórmulas de geometría (aunque le sugiero que no lo haga: P) .
Las fórmulas importantes son la integración por partes, por fracciones parciales, hay muchos resultados para Integraciones definidas que uno debe conocer.