Gran parte del cálculo se inventó antes que Leibniz y Newton, aunque a menudo se les atribuye su invención. El teorema fundamental fue desarrollado por Oresme 300 años antes. El método de Cavalieri se utilizó para encontrar algunas áreas y volúmenes. Fermat polinomios integrados y diferenciados y funciones de potencia. Los registros se describieron en términos del área bajo y = 1 / x.
Apéndice
Teorema fundamental de calculo de Oresme
Nicole Oresme (ca. 1323–1382) estuvo en la Universidad de París y amplió el estudio analítico de cantidades cambiantes. Tenía una interpretación gráfica muy similar a la gráfica moderna [math] y = f (x) [/ math] de una función en el plano [math] (x, y) [/ math], aunque la geometría analítica y las coordenadas eran aún no ha sido desarrollado por Fermat y Descartes en el siglo XVII.
Él representó el tiempo como una línea, al igual que Aristóteles había hecho mucho antes, de modo que los instantes en un intervalo de tiempo estaban representados por puntos en un segmento de línea horizontal AB , al que llamó longitud. Dado un objeto en movimiento, en cada instante en el tiempo E ese objeto en movimiento tiene una velocidad, y él representó esa velocidad mediante un segmento de línea vertical EF proporcional a la velocidad; Cada segmento de línea vertical que llamó latitud. Estas latitudes juntas formaron una región plana ABDC , que llamó forma, limitada en la parte inferior por la longitud original AB , en la izquierda por la latitud inicial AC que representa la velocidad inicial, a la derecha por la latitud final BD que representa la velocidad final , y en la parte superior por la curva CFD que él llamó la curva de la cumbre. Luego argumentó que el área de esa forma ABDC es proporcional a la distancia recorrida.
Oresme hizo las diversas longitudes proporcionales a las distancias o tiempos desde que pensó (como hicieron los antiguos griegos) que son diferentes tipos de cosas, pero probablemente usaríamos el lenguaje de la igualdad: haríamos que la longitud de la longitud sea igual al tiempo transcurrido y la longitud de una latitud es igual a la velocidad en ese instante.
Ahora escribimos su resultado usando la notación de Leibniz como [math] \ int_a ^ bf (x) \, dx. [/ Math] En los años 1300 no había ningún álgebra simbólica en absoluto, no hay signo igual, no hay signo menos, y no hay variables .
Los algoritmos de Fermat.
Fermat (1601–1665) estudió los polinomios [math] f (x) [/ math] y determinó cómo hallar sus máximos y mínimos en la década de 1630. Su método se llamaba adecuación y estaba destinado a encontrar dónde deberían ocurrir los máximos y mínimos . Voy a dejar de lado su explicación por qué debería funcionar.
Para ilustrar su algoritmo , considere la función [math] f (x) = x ^ 3-x. [/ Math] Fermat “adecuado” [math] f (x + e) [/ math] con [math] f (x ) [/ math] estableciéndolos iguales, simplificando la ecuación resultante, dividiendo por [math] e, [/ math] configurando [math] e [/ math] a 0, y resolviendo la ecuación resultante. (Generalmente usamos [math] h [/ math] ahora en lugar de [math] e [/ math] ya que la letra [math] e [/ math] se ha apropiado para un propósito diferente.)
[math] f (x + e) = (x + e) ^ 3- (x + e) [/ math]
[math] = x ^ 3 + 3x ^ 2e + 3xe ^ 2 + e ^ 3-xe [/ math]
[math] f (x) = x ^ 3-x [/ math]
Hazlos iguales y simplifica.
[math] 3x ^ 2e + 3xe ^ 2 + e ^ 3-e = 0 [/ math]
Dividir por [math] e. [/ Math]
[math] 3x ^ 2 + 3xe + e ^ 2-1 = 0 [/ math]
Y establece [math] e [/ math] a 0.
[math] 3x ^ 2-1 = 0 [/ math]
Por lo tanto, [math] x = \ pm \ sqrt {1/3}. [/ Math] Y, de hecho, ahí es donde ocurren los extremos de [math] f (x) [/ math].
También utilizó este método de adecuación para encontrar la tangente a la gráfica [math] y = f (x) [/ math] de un polinomio a un valor particular de [math] x. [/ Math] Es muy similar a nuestro moderno método, pero ahora usamos límites para sortear el problema de dividir por [math] e [/ math] que luego se establece en 0.
La integración de fermat
Fermat tiene una prueba rigurosa de que el área bajo la curva [math] y = x ^ n [/ math] entre [math] x = 0 [/ math] y [math] x = a [/ math] era [math] \ frac {a ^ {n + 1}} {n + 1}. [/ math] Dividió el intervalo en una progresión geométrica y suma las áreas de rectángulos aproximados, lo que podía hacer ya que podía calcular las sumas de series geométricas infinitas . Lo demostró no solo para los exponentes integrales, sino también para los exponentes racionales.
