Wiktionary muestra la etimología de ‘número’ como derivada de Proto-Indo-European * nem- (“dividir”).
Eso es algo interesante, ya que en nuestra presentación típica de la naturaleza del número comenzamos con [math] 1, 2, 3, … [/ math] y luego tratamos de construir todo lo demás a partir de ahí.
Sin embargo, sospecho que realmente no es así como se desarrolló nuestra comprensión del número.
Aunque el conteo es una actividad matemática fundamental, también lo es la distribución .
Creo que es importante tener en cuenta que es a través de procesos como la distribución, división, partición, etc. que surgen las necesidades conceptuales para varios tipos nuevos de números.
Cuando enseñé matemáticas, el primer día de clase escribí un ‘[math] 2 [/ math]’ en la pizarra y preguntaba: “¿Ves el número dos?”
Después de lo obvio “sí” diría,
“No, no lo haces.
No ves el número dos, porque el número dos no refleja la luz.
Lo que ves es una línea ondulada.
Luego escribía la palabra ‘dos’ en la pizarra y preguntaba: “¿ Ahora ves el número dos?”
Es un poco más fácil decir “No” en este caso.
Luego escribiría el número romano ‘[math] II [/ math]’ y haría la misma pregunta.
Por supuesto, ahora la respuesta es un poco más interesante.
Pero entonces, ¿y si hubiera empezado a preguntar por el número cinco? Si escribo ‘[math] V [/ math]’, ¿ahora ves el número cinco?
Este tipo de discusión eventualmente llevaría a un estudiante a señalar que con lo que estamos tratando aquí son símbolos, y hay una distinción entre un símbolo y lo que representa.
Me interesó la cuestión de la naturaleza del número desde que era yo mismo un estudiante de secundaria y durante todos mis años de enseñanza, y me fascina que aún sea una pregunta que pueda desafiar a personas realmente inteligentes.
En un momento se me ocurrió que, en lugar de preguntar qué son los números, tal vez sería útil preguntar qué cantidades son, y sí, lo encontré muy útil.
Las cantidades surgen naturalmente en nuestra experiencia, como en el caso de una bandada de pájaros.
Entonces, ¿qué es una cantidad?
Bueno, una cantidad es una cantidad de unidades.
¿Y qué es una unidad?
Esto resulta ser bastante fundamental, porque la naturaleza de las unidades con las que estamos tratando puede requerir diferentes tipos de matemáticas.
En algunas situaciones, las unidades pueden subdividirse en otras unidades, pero en otras situaciones no pueden ser subdivididas.
Cuando contamos, tenemos que ser capaces de dar el mismo nombre a diferentes objetos. Tenemos que ser capaces de ponerlos de alguna manera en la misma categoría.
Es por eso que tenemos que encontrar denominadores comunes cuando sumamos fracciones. Solo podemos agregar cosas que podemos dar el mismo nombre. Solo podemos añadir cosas que sean del mismo tipo.
Este no es el caso cuando multiplicamos. En productos que involucran cantidades, las unidades del producto y los factores deben diferir de alguna manera, como en [math] 2 cm \ times 3 cm = 6 cm ^ 2 [/ math], o [math] 2 horas \ times 60 \ frac { millas} {hora} = 120 millas [/ math] [math]. [/ math]
Un producto es una combinación de propiedades. Esto está muy bien ilustrado en esta tabla de tiempos de arquetipo. 🙂
Por ejemplo, [math] green sphere [/ math] es la intersección de [math] green [/ math] y [math] sphere [/ math]. Una intersección de dos conjuntos es un producto lógico, pero este tipo de concepto es difícil de dominar para los estudiantes a los que se les ha enseñado a pensar en términos demasiado simplistas de que la multiplicación es ‘solo una abreviatura’ para agregar.
Keith Devlin señaló esta confusión en la educación secundaria de matemáticas hace algunos años.
Lo que es un producto no depende de lo que es una suma. La misma cantidad se puede analizar como un producto o una suma, pero ninguna depende de la otra.
Una cantidad como número de unidades ya es un producto. Una cantidad es el producto [math] number \ times unit [/ math], incluso en el caso de que [math] number = 1 [/ math].
Extraer el número de la cantidad es una habilidad intelectual tremendamente importante, pero al hacerlo a veces nos confundimos. Olvidamos que originalmente extrajimos el número de las cantidades que ocurren naturalmente en nuestra experiencia.