Si se demuestra que una teoría matemática no es demostrable, ¿el hecho de que no pueda encontrar un contraejemplo significa que la teoría es de hecho verdadera?

Answer 1

La pregunta contestada originalmente: si se demuestra que una teoría matemática no es demostrable, ¿no es verdad que el hecho de que no pueda encontrar un contraejemplo significa que la teoría es cierta?

Si se demuestra que una afirmación matemática no es demostrable en una teoría formal, el hecho de que no pueda encontrar un contraejemplo en un modelo de esa teoría significa que la interpretación de esa afirmación es de hecho verdadera en ese modelo. ?

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Usted habla aquí sobre teorías, probabilidad y verdad, y parece estar refiriéndose a los teoremas de incompletud de Gödel. Por lo tanto, podría ser mejor examinar los términos utilizados aquí.

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Desde el punto de vista de la lógica, una teoría (sobre algún tema en particular), digamos [math] \ mathcal {T} [/ math], es simplemente un conjunto de oraciones en algún lenguaje (formal) [math] \ mathcal {L} [/mates].

Es decir, tenemos [math] \ mathcal {T} = \ {\ dots, p_i, \ dots \} [/ math], donde [math] p_i \ in \ mathcal {L} [/ math].

¡No hay nada en esa definición que le diga cómo se debe determinar este conjunto de oraciones! Por lo que sabemos, todas las oraciones en la teoría, podrían haber sido colocadas allí por un generador de oraciones aleatorias o por escribir las divagaciones de algún tonto engañoso caminando en el desierto.

Tampoco hay nada en esta definición que habla de probabilidad o verdad .

Entonces, [math] \ mathcal {T} = \ {\ text {¡La luna no lo es!}, 13-9 = 4, \ text {Una línea es el círculo más cercano a mi perro}, 2 \ times 2 = \ text {Apple pie} \} [/ math] sería una teoría perfectamente buena.

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Por otro lado, nuestra teoría [math] \ mathcal {T} [/ math], podría estar determinada por un método más sistemático. Por ejemplo, podríamos comenzar desde un conjunto arbitrario, llamémoslo [math] \ mathcal {A} \ subset \ mathcal {L} [/ math], de oraciones, que llamaremos axiomas, y algún conjunto, llamémoslo [math] \ mathcal {R} [/ math], de reglas de cálculo que permiten calcular oraciones (potencialmente nuevas) de las existentes.

Usando estos datos básicos, podríamos construir nuestra teoría de la siguiente manera:

1. [math] \ mathcal {T} _0 = \ mathcal {A} [/ math].

   Simplemente comenzamos con los axiomas. El caso de los esquemas de axiomas en lugar de solo axiomas, simplemente proporciona una manera de especificar un conjunto infinito de axiomas que siguen todos los patrones estructurales particulares. Mientras exista un procedimiento para enumerar todos los axiomas de los esquemas de axiomas, el paso 2 a continuación aún se realiza.

2. Defina el conjunto [math] \ mathcal {C} _n [/ math] como el conjunto de todas las proposiciones que se pueden calcular desde [math] \ mathcal {T} _n [/ math], aplicando todas las reglas de cálculo posibles [math] r \ in \ mathcal {R} [/ math] a todas las combinaciones posibles de las oraciones en [math] \ mathcal {T} _n [/ math].

   Esto da como resultado un conjunto de proposiciones que incluye todas las “consecuencias” inmediatas del conjunto de proposiciones dado.

3. Defina el conjunto [math] \ mathcal {N} _n = \ mathcal {C} _n – \ mathcal {T} _n [/ math].

   Este conjunto es el conjunto de proposiciones que aún no están en nuestra teoría, el conjunto de proposiciones que serían nuevas con respecto a [math] \ mathcal {T} _n [/ math]. Si este conjunto está vacío, entonces hemos terminado de construir nuestra teoría.

4. [math] \ mathcal {T} _ {n + 1} = \ mathcal {T} _ {n} \ cup \ mathcal {N} _n [/ math].

   Y aquí simplemente incluimos estas nuevas proposiciones en la teoría que hemos construido hasta ahora.

Iterando este procedimiento indefinidamente nos da:

• [math] \ displaystyle \ mathcal {T} = _ {def} \ bigcup_ {i = 0} ^ {\ infty} \ mathcal {T} _n [/ math].

Tenga en cuenta que si [math] \ mathcal {N} _n [/ math] en realidad está vacío para un [math] n [/ math] dado, entonces tenemos que [math] \ forall m> n. (\ Mathcal {T } _m = \ mathcal {T} _n) [/ math], por lo que no tendríamos que continuar indefinidamente y la construcción puede realizarse en un número finito de pasos, como ya se mencionó en el punto 3 anterior.

También tenga en cuenta que esta construcción también nos da:

• [math] \ forall P. \ forall n. (P \ in \ mathcal {T} _n \ supset P \ in \ mathcal {T} _ {n + 1}) [/ math]

  Una vez que se incluye una proposición [math] P [/ math] en la teoría (parcial) [math] \ mathcal {T} _n [/ math], para algunos [math] n [/ math], sabemos que definitivamente ser parte de nuestra teoría final [math] \ mathcal {T} [/ math].

En lo que antecede, lo que llamé reglas de cálculo y cálculos de un solo paso, a menudo se denominan reglas de inferencia y deducciones de un solo paso respectivamente, y es en este tipo de sistema que podemos hablar acerca de la probabilidad. Este elemento computacional, junto con el conjunto de axiomas, en este contexto se denomina sistema deductivo.

Un ejemplo de tal regla de inferencia podría ser: De las proposiciones [math] A \ supset B [/ math] y [math] A [/ math], puede inferir la proposición [math] B [/ math]. Esta regla de deducción se conoce como modus ponens y se incluye en casi todos los sistemas deductivos.

Otro ejemplo podría ser: De las proposiciones [math] A [/ math] y [math] B [/ math], puedes inferir [math] A \ land B [/ math]. Esto se conoce como la regla de e -introducción.

Pero tenga en cuenta que no estamos hablando de la probabilidad de las teorías , sino de la probabilidad de las proposiciones de otras proposiciones utilizando algún sistema deductivo.

Podemos hablar de la probabilidad de las proposiciones en la teoría , pero no de la probabilidad de la teoría misma.

Y, muy importante, también tenga en cuenta que, no se menciona la noción de verdad en lo que antecede , simplemente un sistema computacional, que puede usarse para construir una teoría que, si se recuerda, en sí mismo, es simplemente un conjunto de oraciones en algún idioma.

Cualquier oración dada [math] p \ in \ mathcal {T} [/ math] es parte de la teoría por una de dos razones:

1. Es un axioma, que es [math] p \ in \ mathcal {A} [/ math].
2. Es una proposición demostrable por el sistema deductivo a partir de los axiomas, que escribiríamos como [math] \ vdash _ {(\ mathcal {A}, \ mathcal {R})} p [/ math], donde [math] \ mathcal {A} [/ math] y [math] \ mathcal {R} [/ math] son ​​los conjuntos de axiomas y reglas de inferencia respectivamente.

Ahora, si consideramos un lenguaje para nuestras proposiciones (oraciones) que incluye el concepto de negación (ya sea como un conectivo básico o definido de alguna manera por otros conectivos), entonces para cualquier proposición [math] p [/ math] podemos formar un proposición llamada negación de [math] p [/ math], escrita como [math] \ lnot p [/ math].

Entonces tiene sentido preguntar por un sistema deductivo fijo específico [math] \ mathfrak {D} = (\ mathcal {A}, \ mathcal {R}) [/ math] – es un conjunto fijo [math] \ mathcal { A} [/ math] de axiomas y un conjunto fijo [math] \ mathcal {R} [/ math] de reglas de inferencia – y una proposición arbitraria [math] p [/ math], cuál de las dos proposiciones [math] p El sistema deductivo puede probar [/ math] y [math] \ lnot p [/ math]. En principio, a priori, tenemos cuatro posibles respuestas a esa pregunta:

1. [math] \ not \ vdash _ {\ mathfrak {D}} p [/ math] y [math] \ not \ vdash _ {\ mathfrak {D}} \ lnot p [/ math].

   Ni [math] p [/ math] ni [math] \ lnot p [/ math] son ​​comprobables en [math] \ mathfrak {D} [/ math]. Llamamos a [math] p [/ math] una proposición indecidible .

2. [math] \ vdash _ {\ mathfrak {D}} p [/ math] y [math] \ not \ vdash _ {\ mathfrak {D}} \ lnot p [/ math].

   [math] p [/ math] es demostrable en [math] \ mathfrak {D} [/ math], pero [math] \ lnot p [/ math] no lo es. Llamamos a [math] p [/ math] una proposición demostrable .

3. [math] \ not \ vdash _ {\ mathfrak {D}} p [/ math] y [math] \ vdash _ {\ mathfrak {D}} \ lnot p [/ math].

   [math] p [/ math] no es demostrable en [math] \ mathfrak {D} [/ math], pero [math] \ lnot p [/ math] es . Llamamos a [math] p [/ math] una proposición desechable .

4. [math] \ vdash _ {\ mathfrak {D}} p [/ math] y [math] \ vdash _ {\ mathfrak {D}} \ lnot p [/ math].

   Tanto [math] p [/ math] como [math] \ lnot p [/ math] son ​​comprobables en [math] \ mathfrak {D} [/ math]. En este caso, llamamos inconsistente al sistema deductivo [math] \ mathfrak {D} [/ math].

   Tenga en cuenta que en los sistemas deductivos más comunes sostiene que si existe alguna proposición [math] p [/ math] tal que [math] p [/ math] es demostrable y desechable en ese sistema, entonces es el caso que todos Las proposiciones son demostrables. Decimos que estos sistemas satisfacen el ‘ principio de explosión ‘. El tipo de sistemas deductivos para los cuales se probaron originalmente los teoremas de incompletitud de Gödel tienen esta propiedad.

   Note nuevamente, muy cuidadosamente, que no hay una noción de verdad involucrada. Las proposiciones son solo oraciones en algún lenguaje, y un lenguaje es simplemente un conjunto de cadenas no interpretadas sobre un alfabeto (un conjunto de símbolos), aunque estructurado sintácticamente.

   Un sistema deductivo [math] \ mathfrak {D} [/ math], no se llama inconsistente porque hay algo verdadero o falso o contradictorio acerca de las proposiciones que prueba. ¡Ni siquiera hemos considerado qué significan estas proposiciones, meras cadenas de símbolos! Todavía estamos llegando a eso.

   Más bien, se llama inconsistente, simplemente porque existe una proposición que es demostrable y desechable en [math] \ mathfrak {D} [/ math].

   Un sistema [math] \ mathfrak {D} [/ math] se llama consistente, precisamente cuando no es inconsistente, lo que, en el caso de la mayoría de las lógicas, significa que un sistema es consistente precisamente cuando no prueba todas las proposiciones de su idioma.

Tenga en cuenta que los teoremas de incompletitud de Gödel se refieren a ciertos sistemas de esta naturaleza. No se trata de la verdad o falsedad de las proposiciones.

Se trata de si existen o no sistemas que demuestren que la posibilidad 1 de los posibles resultados anteriores puede ocurrir realmente.

El primer teorema de incompletitud de Gödel demuestra la existencia de sistemas deductivos que tienen la propiedad de que existe al menos una proposición que no puede ser probada ni desaprobada por ese sistema deductivo, bajo el supuesto de que el sistema deductivo es consistente. Como se mencionó anteriormente, para los sistemas lógicos en los que se probaron originalmente los teoremas, un sistema inconsistente probaría todas las proposiciones, haciendo que la existencia de proposiciones indecidibles sea imposible desde entonces, para todas las proposiciones [math] P [/ math], ambas [math] ¡P [/ math] y [math] \ lnot P [/ math] serían demostrables!

De hecho, el teorema va más allá y en realidad especifica qué propiedades del sistema son suficientes para garantizar este resultado. Parafraseando, el sistema debe ser lo suficientemente fuerte como para poder desarrollar la aritmética básica de los números naturales, con los operadores de suma y multiplicación habituales. Este sería cualquier sistema que pueda interpretar la aritmética de Peano. ¡Así que la lógica de predicado de segundo orden (y superior) debe estar incompleta!

Al igual que mostrar que los reales son incontables por diagonalización, la prueba del resultado de Gödel también es esencialmente un argumento de diagonalización.

Para el caso de los reales, mostramos que por cada supuesta lista completa de los reales, podemos construir un real que no esté en la lista, lo que contradice la integridad de la lista, lo que demuestra que tal lista completa no puede existir.

En el caso de Gödel, trabajamos con una lista supuestamente completa de proposiciones, que serían todas las proposiciones expresables en el lenguaje en cuestión, y que es la unión de la lista de proposiciones comprobables y la lista de proposiciones desechables. Luego muestra que para cualquier par de listas de proposiciones, [math] \ operatorname {Provable} [/ math] y [math] \ operatorname {Desechable} [/ math], podemos construir una proposición que no esté en ninguna de las listas ( y, por lo tanto, no en su unión), contradiciendo la integridad de la unión, lo que demuestra que tal unión no puede existir.

O, dicho de otra manera, el conjunto de todas las proposiciones comprobables y el conjunto de todas las proposiciones desechables tomadas en conjunto no agotan todas las posibles proposiciones del lenguaje. No hay nada en absoluto acerca de la verdad de las proposiciones aquí. Es un resultado computacional, no semántico, en esencia de naturaleza combinatoria.

El resultado de todo esto es simplemente que las proposiciones indecidibles son simplemente proposiciones que no son demostrables ni cuestionables, que en sí mismas no dicen absolutamente nada acerca de la verdad o la falsedad de la proposición .

Entonces, cuando las personas comienzan a hablar sobre Gödel para demostrar que existen verdades que no se pueden probar, ahora sabemos que están involucrando un concepto, a saber, la verdad, a donde no pertenece. El tema de la verdad de una proposición, que veremos a continuación, es irrelevante para la declaración de los resultados de Gödel.

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Ahora, parece que ha llegado el momento de considerar la noción de verdad.

¿Qué significa decir que una proposición es verdadera? Bueno, está claro que si una proposición es verdadera o no depende de dos cosas:

1. Lo que la proposición se interpreta como semántica. Es decir, ¿qué dice la proposición sobre el estado de cosas en algún mundo, llamado el modelo, tal vez incluso el mundo real?
2. Si lo que dice la proposición sobre el estado de cosas de ese mundo se obtiene realmente en ese estado de cosas.

Así, por ejemplo, la proposición “Llovió en Ámsterdam el día de San Valentín de 2016” es cierta en el mundo real precisamente cuando:

1. La frase “ Llovió en Ámsterdam el día de San Valentín de 2016 ” se interpreta como que significa que, en el mundo real, llovió en Ámsterdam el 14 [math] ^ {th} [/ math] de febrero de 2016. Esto es, por ejemplo. , en lugar de interpretar la oración como un código para la afirmación de que una vaca roja observó al gato azul caminando bajo el agua en la luna.
2. En realidad, es el caso de que en el mundo real llovió ese día en dicho lugar.

En otras palabras, la verdad de una proposición es una condición que sostiene una interpretación específica de esa proposición con respecto a un estado de cosas específico.

De nuevo un ejemplo simple. En el estado actual de los asuntos de nuestro mundo real, la proposición ” John Gould tiene el pelo largo ” es una proposición verdadera. Es decir, bajo la interpretación habitual de lo que significa esa proposición, se obtiene del mundo real que el individuo llamado John Gould tiene el pelo largo. Pero ese no es el caso en todo momento y, de hecho, en realidad no siempre fue así. La situación del mundo real una vez fue tal que John Gould no tenía el pelo largo y la proposición expresada por la frase ” John Gould tiene el pelo largo “, según su interpretación habitual, era falsa en ese estado de cosas.

Ahora todo esto es bueno y está bien, pero la lógica está más preocupada por las proposiciones que se sostienen en todos los estados de cosas, que satisfacen la restricción que la (interpretación de) los axiomas obtiene en estos estados de cosas. En otras palabras, la lógica está más interesada en declaraciones que son universalmente verdaderas en todos los mundos posibles en consideración, las llamadas declaraciones válidas , las consecuencias necesarias .

En otras palabras, el propósito de los axiomas es, aproximadamente, determinar los tipos de mundos en los que estamos interesados.

Entonces, si tenemos, por ejemplo, un axioma que indica que [math] \ existe x. \ Existe y. (X \ not = y) [/ math], ese axioma está diciendo que solo consideraremos estados de cosas en los que hay Son al menos dos objetos.

Las conclusiones lógicas son aquellas conclusiones que son verdaderas en todos los estados de cosas bajo consideración, es decir, todos los estados de cosas que satisfacen las restricciones expresadas por los axiomas.

Así, por ejemplo, podemos tener cuatro estados de cosas diferentes de la siguiente manera:

1. Está lloviendo y el césped está mojado.
2. Está lloviendo y el césped no está mojado.
3. No está lloviendo y el césped está mojado.
4. No está lloviendo y el césped no está mojado.

Pero, mirando al mundo real, en aquellos estados de cosas donde está lloviendo, el césped estará mojado. En el mundo real no puede darse el caso de que esté lloviendo, pero el césped no está mojado.

Entonces, si nuestro modelo es respetar esa propiedad observada del mundo real, entonces no debemos considerar ningún modelo en el que el estado de cosas sea tal que llueva y el césped no esté mojado. Es decir, deseamos limitar el conjunto de estados de cosas posibles a aquellos en los que siempre está húmedo si está lloviendo. Deseamos eliminar la posibilidad 2 arriba de nuestro conjunto de estados de cosas posibles.

Esto lo podemos lograr asumiendo un axioma que prohíba este estado de cosas. Dos posibilidades vienen a la mente de inmediato:

1. [math] \ lnot (\ operatorname {lloviendo} \ land \ lnot \ operatorname {wetlawn}) [/ math]
2. [math] \ operatorname {lloviendo} \ supset \ operatorname {wetlawn} [/ math]
3. [math] \ lnot \ operatorname {lloviendo} \ lor \ operatorname {wetlawn} [/ math]

El primero simplemente declara explícitamente que los asuntos estatales específicos que deseamos eliminar no ocurren, y como tal, en realidad no dan una idea de por qué se debe eliminar el estado específico de los asuntos.

Por otro lado, el segundo, intuitivamente hablando, “explica” el estado prohibido de los asuntos como consecuencia de la lluvia, en cierto sentido, “causando” el césped mojado.

No obstante, como proposiciones formales en la lógica clásica , estas dos alternativas son completamente equivalentes y ambas tendrían exactamente las mismas consecuencias.

Pero si uno razona a partir de la suposición de que la realidad es completamente reduccionista, entonces se podría argumentar que deberíamos en este dominio del discurso usar alguna lógica constructiva en lugar de la lógica clásica. Esto se debe a que la existencia de cualquier objeto solo puede probarse en tal lógica exhibiéndolo, construyéndolo. Esto parece ser lo que exige el reduccionismo de cualquier modelo de realidad.

Y en ese caso, no todas las formulaciones anteriores son constructivamente equivalentes. ¡Pueden tener diferentes consecuencias deductivas!

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Entonces, ahora vamos a juntar todo lo anterior y ver qué hace eso para responder tu pregunta.

Considere un sistema axiomático muy simple. Lógica proposicional simple. Como único axioma , tendremos:

[math] \ boxed {\ operatorname {rain} \ supset \ operatorname {wetlawn}} [/ math]

Como reglas de inferencia, simplemente aceptaremos los estándares para la lógica proposicional clásica.

Ahora, tengo un par de preguntas para usted:

1. ¿Puedes probar [math] \ operatorname {rain} [/ math]?
2. ¿Puedes probar [math] \ lnot \ operatorname {rain} [/ math]?

¡Por supuesto no! Solo hay un axioma y de ese axioma no se puede deducir que está lloviendo. ¡Tampoco puedes deducir que no está lloviendo!

Es decir, en este sistema de lógica, la proposición [math] \ operatorname {rain} [/ math] es una proposición indecidible . No hay necesidad de ir todo Gödel sobre la situación aquí. Los teoremas ni siquiera se aplican. ¡No podemos codificar aritmética en este sistema!

No obstante, tenemos proposiciones indecibles, es decir, proposiciones que no pueden ser probadas o refutadas.

Ahora, en su pregunta que hace ” el hecho de que no pueda encontrar un contraejemplo en un modelo de esa teoría significa que la interpretación de esa afirmación es de hecho verdadera en ese modelo ”

Y aquí vemos el error que cometen. Eche un vistazo a la propuesta: [math] \ operatorname {rain} [/ math]. ¿Hay algún modelo para esta proposición?

Sí, hay posibles estados de cosas donde está lloviendo, simplemente porque nuestro axioma no los descarta. Y en esos modelos, no encontraré un contraejemplo para [math] \ operatorname {rain} [/ math].

Pero también hay modelos donde puedo encontrar un ejemplo contrario, a saber, en aquellos estados en los que no llueve, que también existen, simplemente porque el axioma no lo descarta. Y en estos estados de cosas, el hecho de que no llueva es, por supuesto, un ejemplo contrario a la afirmación de que está lloviendo. De hecho es una contradicción directa.

Así que aquí tenemos una oración indecidible [math] \ operatorname {rain} [/ math], que es cierta en algunos modelos y falsa en otros.

Esta es, por supuesto, precisamente la razón por la cual la proposición no es demostrable ni desechable en primer lugar .

1. Si [math] \ operatorname {rain} [/ math] fuera demostrable, tendría que darse el caso de que sea cierto en todos los modelos posibles, lo que contradeciría la existencia de modelos en los que no llueve.
2. Si [math] \ operatorname {rain} [/ math] fuera refutable, tendría que darse el caso de que fuera falso en todos los modelos posibles, lo que contradeciría la existencia de modelos en los que está lloviendo.

Todo lo que esto significa es que [math] \ operatorname {rain} [/ math] es un ejemplo de una proposición que puede tener diferentes valores de verdad según el estado de los asuntos que estamos viendo.

Y como no ha especificado en qué estado particular estamos realmente, no podemos llegar a la conclusión de que estamos en un estado en el que realmente está lloviendo, ese es un estado en el que [math] \ operatorname {rain} [/ math] en realidad es cierto.

Answer 2

Supongo que no quiso decir “teoría” sino “teorema” o “conjetura”. La respuesta corta a su pregunta es “no, en la mayoría de las circunstancias, en la mayoría de las interpretaciones”.

Cualquier colección contable de axiomas que ZFC pueda demostrar que es consistente tiene un modelo (esto se puede derivar del Teorema de integridad de Gödel, si recuerdo correctamente). Por otro lado, si prueba que con ZFC se demuestra que una declaración dada no es demostrable, lo que realmente está mostrando es que ZFC + la declaración es consistente, y ZFC + la negación de la declaración es consistente.

Por lo tanto, debe existir al menos un modelo en el que la declaración sea verdadera y al menos un modelo en el que la declaración sea falsa. Por lo tanto, ciertamente no podemos afirmar que si algo no se puede demostrar es verdad.

Por otro lado, la discusión anterior solo se aplica a la lógica de primer orden. Sin embargo, muchas de las construcciones que nos interesan no están completamente descritas por la lógica de primer orden; por ejemplo, el axioma de inducción para los enteros es un axioma de segundo orden. Hay muchos modelos diferentes que tienen las mismas propiedades de primer orden que los enteros; solo hay un modelo (hasta isomorfismo) que tiene las propiedades de segundo orden de los enteros.

Esto es relevante porque hay ciertas afirmaciones en las que si mostramos que no son demostrables, eso significa que serán ciertos en algún modelo exótico de los enteros o los números reales, pero ese modelo no cumplirá con las propiedades de segundo orden que esperamos los enteros

Entonces, por ejemplo, se sabe que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que

[math] \ displaystyle \ sigma (n) \ leq H_n + e ^ {H_n} \ log (H_n) \ \ left (\ forall n \ geq 1 \ right) \ tag * {}, [/ math]

donde [math] \ sigma (n) [/ math] es la suma de los divisores de [math] n [/ math] y [math] H_n [/ math] es el [math] n [/ math] -th armónico número. Si demostramos que la hipótesis de Riemann no es verificable, mostrará que si calculo [math] \ sigma (1), \ sigma (2), \ sigma (3), \ ldots [/ math], nunca alcanzaré un contra-ejemplo.

Sin embargo, para saber eso implica que la hipótesis de Riemann es cierta, debemos saber que al iterar [math] 1,2,3,4, \ ldots [/ math] llegará a cualquier número entero en solo un número finito de pasos. ¡Pero eso no es una propiedad de primer orden! Hay modelos de aritmética no estándar que tienen todas las mismas propiedades de primer orden que los enteros, pero también contienen elementos mucho más grandes que cualquiera de los enteros “estándar”. Entonces, si la hipótesis de Riemann no es verificable, significará que es cierta para el modelo estándar de los enteros pero falsa en algunos modelos no estándar.

Por otro lado, hay muchos más escenarios que realmente no se ajustan a este paradigma. Por ejemplo, la afirmación de que

[math] \ displaystyle \ forall g, h, \ gh = hg \ tag * {} [/ math]

no es demostrable a partir de los axiomas de grupo, y tampoco lo es su negación. De esto, no podemos concluir que en realidad siempre es secretamente verdadero (o falso); más bien, debemos concluir que algunos grupos satisfacen esta propiedad (específicamente, los abelianos) y otros no.

Answer 3

No.

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Estás confundiendo muchas cosas diferentes en esta pregunta.

Una “teoría” no puede ser “no demostrable”. En matemáticas, la ” teoría ” se utiliza en al menos dos formas diferentes. Ninguno de estos es como una sola declaración que puede ser probada o refutada.

Una “teoría” no puede ser “verdadera” . La “verdad” también se aplica a una sola declaración, dentro de un modelo matemático, no a una teoría.

La relación entre “demostrable” y “verdadero” es unidireccional. Toda afirmación demostrable en una teoría será verdadera en un modelo de esa teoría, pero lo contrario es falso.

Answer 4

En muy breve, no, porque “no encontrar un contraejemplo” incluye “no saber si algo es un contraejemplo o no”. Puede mirarte fijamente a la cara, pero es posible que no puedas decirlo.

Por ejemplo, es posible que necesite saber si hay infinitos miembros de un conjunto con una propiedad específica. Incluso si puede verificarlo para cada miembro individual del conjunto, en realidad, encontrar un número infinito de ellos con la propiedad nunca se puede acumular en un proceso finito.

A veces esto se convierte en un tipo de decidibilidad unilateral. Esto es característico de algunas propiedades de los números naturales, porque cada número natural es finito, incluso si el número de números naturales es infinito. “Si p (n) se mantiene para una n más grande, eventualmente lo puedo encontrar, pero si no, puedo seguir buscando por siempre”. Esto es lo más cercano que puedo pensar de su argumento “indecidible, por lo tanto, verdadero”. Para los juegos con mayor cardinalidad, esta característica útil no está disponible.

Answer 5

No Ninguna de las cosas que mencionaste tiene nada que ver entre sí.

No estoy seguro de lo que quieres decir con una teoría matemática. Normalmente, cuando hablamos de teorías en el sentido matemático, son dominios del conocimiento, es decir, ciertas estructuras matemáticas + teoremas sobre estas estructuras. Tales “teorías” no tienen valores de verdad y están fuera de lo que se puede demostrar. Por ejemplo, la teoría de categorías, la teoría de tipos, la teoría de dominios, la teoría de órdenes … No son ni “verdaderas” ni “falsas” ni “demostrables” ni “no demostrables” ni “refutables”, son simplemente cajas de herramientas con terminología y teoremas. Tal vez te refieres a “teoría” en el sentido de “conjetura”, en la forma en que se utiliza en las ciencias naturales. Así que para mantener el argumento en marcha, vamos a pretender que ha dicho “conjeturas”.

Ahora digamos que una conjetura no ha sido demostrada. En la lógica de primer orden, sabemos desde Goedel que esto significa que hay modelos en los que la conjetura no se sostiene.

El hecho de que no haya encontrado ejemplos contrarios es completamente irrelevante. Tu pequeña mente limitada (como la mía y otras) no es la barrera que deben cumplir las matemáticas. Es posible que no haya encontrado ejemplos de contador porque es demasiado tonto o perezoso. Algunas declaraciones solo tienen enormes ejemplos de contador, que solo las computadoras pueden encontrar en un tiempo razonable.

La conjetura aún puede sostenerse en otros modelos. Pero esto nuevamente es un hecho independiente que necesita ser probado, y no es una consecuencia de que su (o mi) mente limitada no pueda encontrar ejemplos contrarios.

Answer 6

El no poder encontrar un contraejemplo no constituye una prueba de veracidad. Si bien una afirmación podría ser cierta, el hecho de poder encontrar un contraejemplo es, desafortunadamente, solo una afirmación sobre su búsqueda de un contraejemplo. Por ejemplo, supongamos que deseo mostrar que no hay leones blancos. Busco por todo Ontario y no encuentro ninguno. ¿Es eso una prueba de que no existen?

Answer 7

El detalle bajo la pregunta expande la pregunta: “Si se demuestra que una afirmación matemática no se puede demostrar en una teoría formal, el hecho de que no pueda encontrar un contraejemplo en un modelo de esa teoría significa que la interpretación ¿De que afirmación es de hecho verdadera en ese modelo?

Si [math] \ mathcal M [/ math] es un modelo de una teoría de primer orden [math] \ mathcal T [/ math] (lo que significa que cada axioma de [math] \ mathcal T [/ math] es verdadero en [ math] \ mathcal M [/ math]), entonces cada declaración en la teoría es verdadera o falsa en [math] \ mathcal M [/ math].

Si la teoría [math] \ mathcal T [/ math] incluye una afirmación no comprobable [math] S [/ math], me refiero a que ni la afirmación ni su negación pueden probarse a partir de los axiomas de [math] \ mathcal T [ / math], entonces hay al menos un modelo [math] \ mathcal M_1 [/ math] en el que [math] S [/ math] es verdadero y al menos un modelo [math] \ mathcal M_2 [/ math] en el que [math] S [/ math] es falso.

Y por el contrario. Si hay al menos un modelo [math] \ mathcal M_1 [/ math] en el que [math] S [/ math] es verdadero y al menos un modelo [math] \ mathcal M_2 [/ math] en el que [math] S [/ math] es falso, entonces [math] S [/ math] es una afirmación no comprobable en [math] \ mathcal T [/ math].