Bien, vamos a usar la Ley de Conservación de la Energía, no el impulso, lo siento.
De cualquier manera. Tenemos 2 protones, acercándonos unos a otros con una velocidad [math] v [/ math]. Por la mecánica newtoniana (que es suficiente aquí), sabemos que ambas partículas tendrán energía cinética [math] K = \ frac {m * v ^ 2} {2} [/ math].
Ahora, supongamos que uno de estos protones está en reposo, y el otro se está moviendo. Así que ahora, vemos que la energía cinética de uno de estos de repente se convierte en cero, mientras que la del otro aumenta en 2 veces. Entonces, [math] K = 2 * m * v ^ 2 [/ math] (esto puede sonar confuso, pero así es como cambian las energías cinéticas, no se suman directamente cuando cambias el marco de referencias. Tienes que ingresar el cambia la velocidad, que aquí se ha convertido de [math] v [/ math] a [math] 2 * v [/ math]).
Ahora, sabemos que a medida que el protón se acerca al otro protón, su velocidad disminuye, y esta disminución en la velocidad se debe a la disminución en la energía cinética, y este cambio en la energía cinética se debe al aumento en la energía potencial. Llegará un punto en la línea que une los protones donde el protón en movimiento se detendrá porque toda su energía cinética se convierte en energía potencial. Así que al final será [math] 2 * m * v ^ 2 = \ frac {1} {4 * pi * ε} * \ frac {q ^ 2} {r} [/ math] donde ε implica la permitividad de espacio libre (asumimos que la distancia entre los 2 protones es tan pequeña que solo hay un vacío entre ellos, o podemos suponer que esto está ocurriendo en el espacio libre), [math] q [/ math] es la carga fundamental y [ math] r [/ math] aquí es la menor distancia de separación entre las 2 cargas.
Al reordenar la menor distancia, obtenemos
[math] r = \ frac {q ^ 2} {2 * v ^ 2} * \ frac {1} {4 * pi * ε * m} [/ math]
Sustituyendo constantes conocidas como [math] q, pi, 2, m, ε [/ math] obtenemos la ecuación final de la misma manera que [math] r = \ frac {1} {k} \ frac {7.2 * 10 ^ {- 2}} {v} [/ math]
donde [math] k [/ math] es la permitividad relativa del medio.
Al sustituir el valor de [math] v [/ math] y quizás [math] k [/ math] si esto está en algún medio en la ecuación, obtendremos la menor distancia posible.