Considero que esta es una de las preguntas más complejas que he visto hasta ahora en quora (y no ha sido larga). Antes de comenzar a formular una respuesta, permítame hacer las siguientes exenciones de responsabilidad:
A) Va a ser largo y leer como un montón de galimatías,
B) No puedo llegar a una conclusión,
C) No soy matemático: estudié matemáticas en la universidad como parte de un curso de ciencias informáticas, pero eso es todo.
D) Y no, no estoy drogado y no he estado fumando nada 😀
Creo que la respuesta a su pregunta puede que ni siquiera sea matemática; más bien, ¿probablemente sería biológica, filosófica o incluso metafísica? La respuesta puede no ser sobre el infinito de la teoría numérica o algo así, porque una vez que sepa cómo generar el siguiente y el número anterior para cualquier número dado, probablemente ya lo haya descubierto todo. Además, si ha demostrado que algo no se puede resolver, entonces una forma de verlo sugeriría que ya ha agotado toda la información al respecto. Más bien, se trata de la definición de conocimiento y nuestra percepción.
En la actualidad, cualquiera que esté investigando la ciencia popular puede saber seriamente que ciertos conceptos familiares de la geometría euclidiana ya no son válidos desde que surgió la Relatividad General. En cambio, Euclidian aparece como un caso especial de la Geometría Reimanniana más complicada, que se supone que pinta una imagen más real de nuestro universo. Tomemos, por ejemplo, la comprensión intuitiva de la rectitud de una línea recta. Con General Relative declarando que el tejido del espacio está curvado, no puede imaginarse su línea recta para continuar en su camino hasta el infinito sin doblarse. Puede usar su imaginación para hacer un orificio en el tejido espacial y empujar la línea a través del conjunto, pero no tendrá sentido ni será correcto, porque no puede imaginar el otro lado del tejido espacial, porque no tiene ningún significado. Es necesario un cambio importante en el marco del pensamiento.
Similar con todo conocimiento, incluso. Me inclino a pensar que todo el conocimiento no se descubre , sino que se inventa. Lo que define una cosa como una ley matemática es lo interesante que percibes que es. Por ejemplo, una fórmula para averiguar el n-ésimo número es un conocimiento interesante , como la prueba de que el sistema de números pares es infinito. Descubrir los números pares individuales, por ejemplo, el 18,015º número par, o el 120,109,752 o cada número par en el medio puede no ser matemáticamente interesante en absoluto. Puede que no haya una propiedad inherente y absoluta adjunta a una pregunta en cada categoría; más bien, es nuestra percepción la que introduce la distinción necesaria.
Para responder a su pregunta: si una persona con un tiempo de vida infinito y un tiempo infinito puede descubrir todas las matemáticas, la respuesta rápida y flexible sería sí, porque parecería que la mente no es infinitamente poderosa, y no con una memoria infinita. Solo hay una cantidad finita de cosas que él podría clasificar como ‘matemáticamente interesantes’. Es como preguntar, ¿puede una computadora con una cantidad finita de RAM pero una cantidad infinita de almacenamiento secundario ejecutar una cantidad infinita de programas al mismo tiempo sin intercambiar ninguno (no puede)? Por lo tanto, a medida que nuestro conocimiento crece, la cantidad de parámetros independientes necesarios para formular nuevas preguntas que crecerían tanto que ya no se adaptarían a la mente de una sola vez. Entonces, dejaremos de hacer nuevas preguntas y cuando no tengamos más preguntas, ese será el fin de todo conocimiento (supongo que podemos decir que hemos “descubierto” todas las matemáticas cuando ya no tenemos más preguntas sobre nada matemático) .
Pero, no es tan simple. Algunas de las cosas clave a considerar son:
a) ¿Un mayor conocimiento matemático parece implicar conocer más cosas no relacionadas o menos? Por ejemplo, en física, más conocimiento posiblemente podría significar cosas menos independientes para saber. Como, en un momento dado, la materia y la electricidad se habían percibido como tres cosas diferentes en conjunto, entonces alguien se encuentra y descubre numerosas partículas subatómicas y las eliminamos inmediatamente como cosas mutuamente independientes. Luego tropezamos con los quarks, y nos muestran cómo las partículas subatómicas no son “fundamentales”, y finalmente, ahora descubrimos cadenas, ¡lo que es aún más fundamental para un quark! Parece que el crecimiento del conocimiento en física es esencialmente una contracción , e incluso podría tener un final visible? Sin embargo, puede que no sea lo mismo para las matemáticas, y un mayor conocimiento bien podría significar una verdadera expansión del conocimiento. Esperemos un poco de iluminación aquí
b) Dado un conjunto de piezas de información matemáticamente interesantes (¿y posiblemente no relacionadas?), ¿es posible derivar siempre de ellas otra pregunta matemáticamente interesante? No tengo idea de cómo probar esto, pero algún día lo intentaré. Si la respuesta es no, entonces bien podría significar que el final está una vez más a la vista (limitado por la finitud de nuestra propia mente).
Otra pregunta interesante (o corolario) que surge aquí es si es posible medir la capacidad de la propia mente. Siento que es algo así como tratar de pintar el suelo de una habitación sin salir de la habitación y sin pisar la pintura húmeda, ¡no se puede hacer! Sin embargo, eso no significa que no puedas descubrir los límites de la mente de otra persona. ¡Tal vez entonces pueda descubrir todo el conocimiento matemático de esa persona (debería variar entre personas) antes de dicha persona en un tiempo determinado!
PD: Me doy cuenta de que mi respuesta es una respuesta a un antojo narcisista interno, y como tal, todo está lleno de agujeros. En cuyo caso, agradecería mucho que alguien me pusiera en el camino correcto