Uno de los conceptos más bellos de las matemáticas es la simetría. Aparece en la teoría de grupos, pero también tiene un papel crucial en la física teórica.
Según las matemáticas y la física, la simetría es inmunidad a un posible cambio.
Es divertido tratar de averiguar por qué esta definición se alinea con muchas nociones intuitivas de simetría.
Nuestras intuiciones acerca de la simetría sirven como un punto de partida desde el cual trabajar nuestro camino hacia el enfoque teórico de la simetría. Es fácil comprender que un triángulo escaleno es asimétrico, mientras que un triángulo isósceles es simétrico, y un triángulo equilátero es aún más simétrico. La simetría para la mayoría de las personas implica un sentido de igualdad, o de igualdad equilibrada.
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¿Cómo se aplica el concepto de inmunidad al cambio a nuestros ejemplos de triángulos? Imagina que estos triángulos son bloques de plástico de colores uniformes, colocados sobre una mesa. Puedes rotarlos y voltearlos de infinitas maneras. Considera el triángulo equilátero. Si giras el triángulo equilátero en 120 o 240 grados alrededor del centro, terminará apareciendo como lo hizo inicialmente. Girar el triángulo equilátero como se muestra en el diagrama tiene el mismo efecto. El triángulo isósceles posee una simetría de “giro” pero no simetrías de rotación, y el triángulo escaleno no posee ningún tipo de simetría.
Los dos elementos esenciales de simetría son (1) la posibilidad de
un cambio físico, y (2) la inmunidad a ese cambio. Esta “inmunidad” también se llama invarianza.
La ciencia es la visión del universo físico a través de la lente de la simetría. Las leyes de la ciencia son las simetrías de la naturaleza, los aspectos de la naturaleza que no cambian cuando se cambian otros aspectos. La ciencia es una cámara que captura los aspectos de la naturaleza que “se mantienen quietos” durante la duración de la “exposición”.
La historia de la ciencia es también una historia de nuestros descubrimientos de cómo las simetrías se descomponen y emergen nuevas simetrías. Por ejemplo, la invariancia galileana dio paso a la invariancia de Lorentz cuando la teoría de la relatividad suplantó a la mecánica clásica. La ciencia es la búsqueda de la invariancia , y sus fracasos son tan interesantes como sus éxitos.
En la física teórica, la simetría ahora juega un papel central. El teorema de Noether mostró que cada simetría de una clase particular podría estar asociada con una cantidad conservada. Entonces, la simetría de la traducción está asociada con la conservación del momento, y la simetría de la rotación está asociada con la conservación del momento angular.
Me presentaron muchas de estas ideas a través de un libro del físico Joe Rosen llamado Reglas de simetría: Cómo se fundan la ciencia y la naturaleza en la simetría. Está más cerca de un libro de texto que un tratamiento popular, pero para las personas interesadas en las matemáticas de la simetría y la teoría de grupos, y cómo se relaciona con la ciencia, esta es una excelente introducción. Aquí hay un resumen del libro: [pdf]