Primero. La notación utilizada es muy, muy extraña. Incluso diría, es incorrecto. Aquí está, por qué: el conector [math] \ Rightarrow [/ math] solo se puede usar para conectar fórmulas, mientras que todas las expresiones con solo símbolos funcionales [math] s, + [/ math] y variable individual [math] z [ / math] son en realidad términos. Esto se sigue directamente de la definición del lenguaje de la aritmética de Peano que se puede encontrar en el libro de Elliott Mendelson. Esto significa que ninguna de las expresiones dadas es sintácticamente correcta: ninguna de ellas es una fórmula, y tampoco son términos.
Por ejemplo, la primera línea se interpretaría de la siguiente manera: si z más el sucesor de z, entonces el sucesor de z. Dios mío, ¿qué se supone que significa?
Segundo. Para comprender cómo se usan los axiomas, se puede leer un libro de texto sobre lógica. Ya se ha dado un ejemplo. Otro buen ejemplo es el libro escrito por Joseph R. Shoenfield, que tiene un capítulo completo sobre diferentes sistemas de aritmética formal.
Los axiomas en sí pueden verse en el libro de Shoenfild o en la wiki.
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