¿Qué es lo que hace que el Teorema de Noether sea tan hermoso?

Answer 1

A2A, tal vez ya que probablemente fue mi declaración la que causó la pregunta en primer lugar. Tengo poco que agregar a la excelente respuesta de Ron Maimon, excepto que …

“Acabo de verlo usado en el mismo aliento que la Relatividad” me parece una declaración extraña. El teorema de Noether es la relatividad, incluso se escribe en grande. No solo en el sentido casi trivial del pseudo-tensor de energía-estrés.

El principio de la relatividad es que las leyes de la física deben ser las mismas para todos. Casi todos los días, veo preguntas en Quora sobre si esto es así. ¿No es posible que alguna área remota del universo tenga leyes drásticamente diferentes? Bueno, hemos mirado allí, pero ¿y si algo cambiara a tiempo?

El Teorema de Nother demuestra que, si tenemos conservación de la energía, entonces las leyes de la física no cambian con el tiempo. Lo mismo con la conservación del momento y el espacio, o el momento angular y la rotación. Que el carácter del universo hace 10 mil millones de años pueda ser probado por un experimento que podemos hacer ahora es, para mí, increíble.

A menudo me angustia que Noether no obtenga el crédito que se merece, y no creo que haber sido mujer sea suficiente para explicarlo. Tal vez fue porque estaba tan interesada y era tan buena probando cosas que la gente había dado por sentado durante años.

Considere el cálculo. Cosas asombrosas, pero solo tomaron unos 100 años entre las intuiciones de Newton y Leibniz antes de que Euler lo pusiera sobre una base teórica firme.

Ahora consideremos el álgebra (y las álgebras). La gente había estado haciendo esto durante casi 2000 años (es mucho más antigua que la palabra “álgebra”). Tomó hasta Noether ponerlo sobre una base teórica firme.

Answer 2

Es hermoso porque enlaza las dos cosas más fundamentales de la física: las leyes de conservación y los principios de simetría. Relaciona los tipos más antiguos de argumentos físicos, argumentos de simetría, con el tipo más antiguo de leyes físicas, las leyes de conservación. También es imposible descubrir fuera de los formalismos lagrangianos o hamiltonianos, o la mecánica cuántica que subyace a esto, porque no es verdad sin estas cosas.

El teorema es cierto tanto en la mecánica clásica como en la cuántica, en el formalismo de Lagrangian o en el de Hamilton, y la prueba es paralela en todos los casos. Es cierto en la Relatividad General, ya sea para simetrías coordinadas que tienen un efecto no trivial en los límites, o para simetrías físicas que son simetrías de la geometría del espacio (que dan dos nociones distintas de energía y momento). Se ha convertido en una base para las ciencias físicas, de la misma manera que E = mc ^ 2, es tan fundamental que la gente olvida que hubo un momento en que fue sorprendente y nuevo.

Einstein aplicó de inmediato el teorema de Noether (recién salido de las prensas) a la Relatividad General (también de las prensas) en 1917 para obtener el pseudo-tensor de energía de estrés, un trabajo tan avanzado que Schrodinger y todos los demás lo consideraron loco. 1917 hasta bien entrada la década de 1990, cuando el trabajo de York sobre el tensor de energía de tensión no local y el principio holográfico aclaró cómo se supone que se ve la energía de tensión gravitatoria (Einstein se ve bien al final). El teorema de Noether en las teorías de gauge en general seguía dando sorpresas hasta tiempos relativamente recientes, porque en el caso de una simetría de gauge, la corriente conservada es un derivado perfecto, se conserva tautológicamente, por lo que las cantidades conservadas son solo un tipo de cosas limitantes.

Hay varias formas de declarar la prueba, todas equivalentes. Me gusta la forma hamiltoniana. En el formalismo hamiltoniano, el tiempo derivado de una cantidad es:

dA / dt = [A, H]

Donde el soporte es el soporte de Poisson, y si este es cero, entonces las transformaciones que usan H como generador no cambian A, por lo que avanzar un poco en el futuro mantiene a A constante. Pero también las transformaciones con A como generador no cambian H (ya que [H, A] también es cero), así que A genera una simetría (esta prueba no funciona bien para las transformaciones que cambian de tiempo).

La prueba de Lagrangian también es intuitiva: suponga que tiene una trayectoria x (t) que es el mínimo de S. Luego, puede realizar una transformación de simetría infinitesimal en la trayectoria, y obtiene S (x + dx), que es S (x ) más una integral en el tiempo de dS / dx veces dx, donde d es el cambio variacional en S, la derivada variacional. El camino masivo es una variación infinitesimal del camino masivo, por lo que no hay cambio en la acción, por el principio de que las variaciones de S son cero en la trayectoria real. Por lo tanto, el cambio variacional solo puede depender de los puntos finales, porque la ruta es un mínimo, por lo que se obtiene una cantidad A (x_i) dx – A (x_f) dx que es cero sumado en los dos puntos finales, lo que significa que hay Una cantidad constante a lo largo de la trayectoria. Feynman explica el teorema de esta manera en “El carácter de la ley física”.

En la mecánica cuántica hamiltoniana, el argumento es exactamente el mismo que en la mecánica clásica hamiltoniana. En la formulación lagrangiana de la mecánica cuántica, el argumento es un poco diferente, porque la trayectoria en sí se resume, pero la prueba es fácil de reconstruir una vez que se sabe cómo se derivan las ecuaciones de movimiento, y esto se explica en la página de Wikipedia en ” Formulación integral del camino “entre otros lugares.