Esta pregunta es más complicada de lo que parece. Hay dos formas de definir un momento dipolar:
1. En función de una fuente de campo
Supongamos que tenemos una colección de partículas numeradas 1, 2, …, N. Cada partícula tiene una “carga” [math] q_i [/ math]. Entonces podemos definir el momento dipolo como
\ begin {equation *}
\ mathbf {d} = \ sum_ {i = 1} ^ N q_i \ mathbf {r} _i
\ end {ecuación *}
Es decir, multiplique la carga de cada partícula por su vector de posición y sume todas las partículas. Para una distribución continua de la materia, la suma puede reemplazarse por una integral sobre el espacio donde, en lugar de la carga, usamos la densidad de carga,
\ begin {equation *}
\ mathbf {d} = \ int \ mathbf {r} \ rho (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r}
\ end {ecuación *}
Si la carga o la densidad de carga es la carga eléctrica o la densidad de carga, la cantidad resultante se denomina momento dipolo eléctrico . También hay un momento dipolo de masa , donde la “carga” es la masa y la “densidad de carga” es la densidad de la masa.
En general, el valor del momento dipolar dependerá de la elección del origen. Sin embargo, en el caso especial en el que la carga total se desvanece, el momento dipolar es independiente del origen.
El ejemplo más simple de un dipolo eléctrico son dos partículas con carga opuesta (carga [math] \ pm q [/ math]) separadas por cierta distancia [math] d [/ math]. Dado que la carga total se desvanece, el momento dipolar es independiente del origen, y es fácil ver que su magnitud es [math] qd [/ math], y que se dirige a lo largo del vector desde la carga negativa a la carga positiva.
Ahora he definido el momento dipolar, pero no he explicado su importancia. El momento dipolar aparece en algo llamado expansión multipolo. No explicaré en detalle cómo funciona esto, pero básicamente es una forma de escribir un potencial con la dependencia de [math] 1 / r [/ math] como una serie en potencias de [math] 1 / r [/ math]. Si tenemos una colección de partículas con cargas [math] q_i [/ math] y posiciones [math] \ mathbf {r} ‘_ i [/ math], entonces
\ begin {equation *}
\ phi = \ frac {k} {r} \ left [\ sum_i q_i \ right] + \ frac {k} {r ^ 2} \ left [\ sum_i q_i r ‘_ {ij} \ right] \ hat {r } _j + \ frac {k} {2r ^ 3} \ left [\ sum_i q_i (3 r ‘_ {ij} r’ _ {ik} – \ delta_ {jk} r’_i {} ^ 2) \ right] \ hat {r} _j \ hat {r} _k + \ ldots
\ end {ecuación *}
Tenga en cuenta que [math] r ‘_ {ij} [/ math] denota la coordenada jth de la posición de la partícula i. Se suman los índices repetidos distintos de i . También podemos escribir esto en forma integral para una distribución continua de materia:
\ begin {equation *}
\ phi = \ frac {k} {r} \ left [\ int \ rho \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r} ‘\ right] + \ frac {k} {r ^ 2} \ left [ \ int \ rho r’_j \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r} ‘\ right] \ hat {r} _j + \ frac {k} {2r ^ 3} \ left [\ int \ rho ( 3 r’_j r’_k – \ delta_ {jk} r ^ {\ prime 2}) \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r} ‘\ right] \ hat {r} _j \ hat {r} _k + \ ldots
\ end {ecuación *}
Esta es la expansión multipolo. La primera expresión entre corchetes es solo la carga total, también llamada momento monopolo. El término que lo contiene tiene dependencia [math] 1 / r [/ math] y es el término de orden principal. Entonces, esto le indica que, lejos de una fuente, la fuente parece un punto cuya carga es la carga total de la fuente. La segunda expresión entre corchetes es reconocible como el momento dipolar, que se definió previamente. El término dipolo también contribuye al potencial, pero cae como [math] 1 / r ^ 2 [/ math], por lo que, en general, será insignificante lejos de la fuente, a menos que desaparezca el momento monopolo. Si el momento monopolar desaparece, el término dipolo será el término de orden principal. Para un “dipolo puntual”, entonces, que consiste en dos partículas con cargas iguales y opuestas muy juntas, tenemos
\ begin {equation *}
\ phi \ approx \ frac {k} {r ^ 2} \ mathbf {d} \ cdot \ hat {\ mathbf {r}}
\ end {ecuación *}
Entonces, en general, el momento dipolar [math] \ mathbf {d} [/ math], una propiedad de una distribución de carga, describe la dependencia [math] 1 / r ^ 2 [/ math] del potencial (y, por lo tanto, [math] 1 / r ^ 3 [/ math] dependencia del campo). La magnitud del momento del dipolo determina la fuerza de la parte del dipolo del campo, y la dirección entra en la ecuación a través del producto puntual. Por ejemplo, si el dipolo está ubicado en el origen y orientado a lo largo del eje z, entonces si se acerca a lo largo del plano xy, no ve potencial. Pero si te aproximas a lo largo del eje z, ves un potencial que varía como [math] 1 / r ^ 2 [/ math].
La siguiente expresión entre corchetes [math] \ int \ rho (3 r’_j r’_k – \ delta_ {jk} r ^ {\ prime 2}) [/ math] es el momento de cuadrupolo sin rastro. Es responsable de un potencial que cae como [math] 1 / r ^ 3 [/ math], y es significativo cuando el momento dipolar se desvanece, así como el momento monopole. Y así. No voy a entrar en demasiados detalles aquí.
Podemos expandir el campo gravitatorio de la misma manera; para calcular el potencial gravitatorio newtoniano, solo use la masa de cada partícula como su carga en las fórmulas anteriores. Por lo tanto, puede calcular el monopolo en masa (masa total), el dipolo en masa, el cuadrupolo en masa, y así sucesivamente. (Además, no olvide usar [math] G [/ math] para la constante [math] k [/ math].)
También hay un momento dipolo magnético. Esto es un poco más sutil de lo que parece. Las partículas cargadas magnéticamente no se conocen en la naturaleza. Los campos magnéticos como los conocemos son producidos por corrientes eléctricas. Es decir, la fuente del potencial vectorial magnético [math] \ mathbf {A} [/ math] es la densidad actual [math] \ mathbf {J} [/ math].
Ahora, el potencial vectorial magnético depende de cada componente de la densidad de corriente por separado de la misma manera en que el potencial escalar eléctrico depende de la densidad de carga y el potencial gravitatorio newtoniano depende de la densidad de masa:
\ begin {align *}
\ phi & = k_E \ int \ frac {\ rho} {\ | \ mathbf {r} – \ mathbf {r} ‘\ |} \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r}’ \\
A_i & = k_M \ int \ frac {J_i} {\ | \ mathbf {r} – \ mathbf {r} ‘\ |} \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r}’
\ end {align *}
donde [math] k_E = 1 / (4 \ pi \ epsilon_0) [/ math] y [math] k_M = \ mu_0 / (4 \ pi) [/ math] en unidades SI.
Por lo tanto, podemos anotar inmediatamente la expansión multipolo para un componente dado del potencial del vector magnético, por analogía.
\ begin {equation *}
A_i = \ frac {k} {r} \ left [\ int J_i \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r} ‘\ right] + \ frac {k} {r ^ 2} \ left [\ int J_i r’_j \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r} ‘\ right] \ hat {r} _j + \ frac {k} {2r ^ 3} \ left [\ int J_i (3r’_j r ‘_k – \ delta_ {jk} r’ ^ 2) \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r} ‘\ right] \ hat {r} _j \ hat {r} _k + \ ldots
\ end {ecuación *}
Así que vemos que la contribución de orden principal al potencial del vector magnético está dada por
\ begin {equation *}
\ mathbf {A} \ approx \ frac {k} {r} \ int \ mathbf {J} \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r} ‘
\ end {ecuación *}
Este es el término monopolo; El momento monopolo es solo la corriente total. La corriente total siempre desaparece para una distribución de corriente estática, porque de lo contrario habría un movimiento neto de carga a lo largo del tiempo. Por lo tanto, no solo no hay monopolos magnéticos, sino que tampoco hay una manera de configurar una distribución de corriente estática que produzca un potencial vectorial magnético [math] 1 / r [/ math]. El potencial del vector magnético siempre cae como [math] 1 / r ^ 2 [/ math] o más rápido para una distribución de corriente estática.
Ahora, considere el término dipolo:
\ begin {equation *}
A_i \ approx \ frac {k} {r ^ 2} \ left [\ int J_i r’_j \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r} ‘\ right] \ hat {r} _j
\ end {ecuación *}
El objeto entre corchetes es un tensor de segundo rango; Tiene dos índices libres: i y j . Si lo contrata con el vector unitario [math] \ hat {\ mathbf {r}} [/ math] se obtiene un vector, el vector magnético potencial en el lado izquierdo. Este tensor de segunda fila es el momento dipolar magnético. Del mismo modo, el momento cuadrupolo magnético es un tensor de tercer rango que se contrae con dos vectores radiales unitarios para dar un vector resultante, la contribución del cuadrupolo al potencial del vector magnético, y así sucesivamente.
Sin embargo, el momento dipolar magnético se suele considerar como un vector. ¿Cómo puede ser esto, si es un tensor de segundo rango? ¡La dualidad de Hodge ataca de nuevo! Para una distribución de corriente estática, considere para i fija, j la cantidad
\ begin {equation *}
I = \ int r’_i r’_j \ rho (\ mathbf {r} ‘) \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r}’
\ end {ecuación *}
Esta cantidad debe ser constante en el tiempo, ya que se supone que la distribución de carga se mantendrá constante en el tiempo. Diferencie esto, use la ecuación de continuidad para reemplazar [math] \ partial \ rho / \ partial t [/ math] por [math] – \ nabla \ cdot \ mathbf {J} [/ math], integre por partes, y descarte término superficial al infinito. Obtendrás el resultado que
\ begin {equation *}
\ int r’_i J_j + r’_j J_i \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r} ‘= 0
\ end {ecuación *}
Por lo tanto, el tensor del momento del dipolo magnético es antisimétrico. Reescriba el término dipolo explícitamente antisimetrizando:
\ begin {equation *}
A_i \ approx \ frac {k} {2r ^ 2} \ left [\ int J_i r’_j – J_j r’_i \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r} ‘\ right] \ hat {r} _j
\ end {ecuación *}
Podemos reescribir [math] J_i r’_j – J_j r’_i [/ math] como [math] – \ epsilon_ {ijk} \ epsilon_ {lmk} r’_l J_m [/ math] usando la identidad epsilon contratada. Reconociendo el producto cruzado,
\ begin {equation *}
J_i r’_j – J_j r’_i = – \ epsilon_ {ijk} (\ mathbf {r} ‘\ times \ mathbf {J}) _ k
\ end {ecuación *}
Definir el pseudovector de momento dipolo magnético,
\ begin {equation *}
\ boldsymbol \ mu = \ frac {1} {2} \ int \ mathbf {r} ‘\ times \ mathbf {J} \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r}’
\ end {ecuación *}
Entonces
\ begin {equation *}
A_i \ approx \ frac {k} {r ^ 2} [- \ epsilon_ {ijk} \ mu_k] \ hat {r} _j = \ frac {k} {r ^ 2} \ epsilon_ {ikj} \ mu_k \ hat { r} _j = \ frac {k} {r ^ 2} (\ boldsymbol \ mu \ times \ hat {\ mathbf {r}}) _ i
\ end {ecuación *}
así que en conclusión
\ begin {equation *}
\ mathbf {A} \ approx \ frac {k} {r ^ 2} \ boldsymbol \ mu \ times \ hat {\ mathbf {r}}
\ end {ecuación *}
El pseudovector [math] \ boldsymbol \ mu [/ math] es lo que generalmente consideramos como el momento dipolo magnético, pero es importante tener en cuenta que es solo una abreviatura del tensor de segunda fila originario del multipolo. expansión. El pseudovector de momento dipolo magnético tiene una definición de aspecto extraño con el producto cruzado. El tensor original cae de la expansión multipolo de una manera directa, en analogía con los momentos dipolares eléctricos y de masa.
2. Como parámetro que determina la respuesta de un cuerpo a un campo externo.
Como siempre, con las teorías de campo, hay dos partes en el juego. Tienes que saber cómo las fuentes generan campos, y también debes saber cómo los campos influyen en las partículas y cuerpos de prueba.
La energía de un cuerpo cargado extendido en un campo eléctrico externo es
[math] H = \ int \ rho \ phi \, d ^ 3 \ mathbf {r} [/ math]
Podemos realizar una expansión multipolo de este llamado Hamiltoniano de interacción al expandir el potencial en una serie de Taylor,
\ begin {equation *}
\ phi = \ phi (0) + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_i} \ bigg | _0 r_i + \ frac {1} {2} \ frac {\ partial ^ 2 \ phi} {\ partial x_i \ parcial x_j} \ bigg | _0 r_i r_j + \ ldots
\ end {ecuación *}
Tenga en cuenta que [math] \ partial \ phi / \ partial x_i = -E_i [/ math] y [math] \ frac {\ partial ^ 2 \ phi} {\ partial x_i \ partial x_j} = – \ partial E_i / \ partial x_j [/ math], entonces
\ begin {equation *}
H = \ phi (0) \ left [\ int \ rho \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r} \ right] – E_i (0) \ left [\ int r_i \ rho \, \ mathrm {d } ^ 3 \ mathbf {r} \ right] – \ frac {1} {2} \ partial_i E_j (0) \ left [\ int r_j rho \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r} \ derecha] + \ ldots
\ end {ecuación *}
Una vez más reconocemos los momentos monopolar y dipolo entre paréntesis. El tercer término entre corchetes es el primitivo cuadrupolo momento. (*) Es fácil ver cómo extender esto a poderes más altos en [math] r [/ math].
Así que si solo escribimos los dos primeros términos,
\ begin {equation *}
H \ approx q \ phi (0) – \ mathbf {d} \ cdot \ mathbf {E} (0)
\ end {ecuación *}
con [math] q [/ math] la carga total, y [math] \ mathbf {d} [/ math] el momento dipolar. Entonces vemos que la energía potencial se minimiza cuando el momento dipolar se alinea con el campo eléctrico externo.
Para una distribución actual en un campo magnético también podemos escribir el Hamiltoniano
\ begin {equation *}
H = \ int \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {J} \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r}
\ end {ecuación *}
y al realizar la expansión de Taylor obtenemos
\ begin {align *}
H & = \ int A_i (0) J_i + \ partial_i A_j (0) r_i J_j + \ ldots \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r} \\
& = A_i (0) \ int J_i \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r} + \ partial_i A_j (0) \ int r_i J_j \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r} + \ ldots
\ end {align *}
Como se dijo anteriormente, el primer término se desvanece. Para el segundo término, sabemos que el objeto [math] \ int r_i J_j [/ math], el tensor del momento del dipolo magnético, es antisimétrico. Por lo tanto, su contracción con el tensor [math] \ partial_i A_j (0) [/ math] está determinada por la parte antisimétrica de esta última.
\ begin {align *}
H & = \ frac {1} {2} (\ partial_i A_j (0) – \ partial_j A_i (0)) \ int r_i J_j \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r} + \ ldots \\
& = \ frac {1} {4} (\ partial_i A_j (0) – \ partial_j A_i (0)) \ int r_i J_j – r_j J_i \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r} + \ ldots
\ end {align *}
Pero entonces [math] (J_i r_j – J_j r_i) \ hat {r} _j = -2 \ epsilon_ {ijk} \ mu_k [/ math], entonces
\ begin {align *}
H & = – \ frac {1} {2} \ epsilon_ {ijk} (\ partial_i A_j (0) – \ partial_j A_i (0)) \ mu_k \\
& = – \ frac {1} {2} (\ epsilon_ {kij} \ partial_i A_j (0) – \ epsilon_ {kij} \ partial_j A_i (0)) \ mu_k \\
& = – \ frac {1} {2} (\ epsilon_ {kij} \ partial_i A_j (0) – \ epsilon_ {kji} \ partial_i A_j (0)) \ mu_k \\
& = – \ epsilon_ {kij} \ partial_i A_j (0) \ mu_k \\
& = – (\ nabla \ times \ mathbf {A}) _ k \ mu_k \\
& = – \ mathbf {B} \ cdot \ boldsymbol \ mu
\ end {align *}
Entonces obtenemos el notable resultado de que, al igual que un dipolo eléctrico, tiene una energía potencial [math] – \ mathbf {d} \ cdot \ mathbf {E} [/ math] en un campo eléctrico, un dipolo magnético tiene una energía potencial [math ] – \ boldsymbol \ mu \ cdot \ mathbf {B} [/ math] en un campo magnético.
El momento dipolo “pasivo” definido de esta manera, como un coeficiente en la expansión multipolo del hamiltoniano, es idéntico al momento dipolo “activo” definido en la sección anterior. Sin embargo, los momentos dipolares pasivos son a veces más fáciles de observar. Por ejemplo, es muy difícil medir el campo magnético de un solo electrón (no estoy seguro de si se ha hecho), pero es fácil observar la energía de interacción de un electrón con un campo magnético: simplemente configure un conjunto y mida la fracción de la población con giro paralelo frente a giro antiparalelo al campo; Luego, una mecánica estadística básica te dice la diferencia de energía. De hecho, definitivamente no podemos considerar el electrón como consistente en corrientes clásicas, pero todavía podemos definir el momento dipolo magnético del electrón “pasivamente”: es precisamente el vector [math] \ boldsymbol \ mu [/ math] tal que
\ begin {equation *}
H = – \ boldsymbol \ mu \ cdot \ mathbf {B}
\ end {ecuación *}
es verdad.
El electrón también tiene un momento dipolo eléctrico , que se define de manera análoga. (Sin embargo, es demasiado pequeño para medirlo con cualquier técnica experimental conocida actualmente).
(*) Esto también puede reemplazarse por 1/3 del momento cuadrupolo sin rastro. El término adicional en este último no hace ninguna diferencia en el resultado final, asumiendo que el campo eléctrico externo satisface las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre ([math] \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = 0 [/ math]).
Apéndice
Acabo de notar que esta pregunta está etiquetada como química. Lo anterior está escrito de una manera muy pesada en física, por lo que podría no ser útil para alguien que estudia química.
La mayoría de las moléculas encontradas en la química no tienen un momento dipolo magnético permanente. Esto se debe a que, en casi todos los compuestos estables estudiados por los químicos, todos los electrones están emparejados, y dos electrones emparejados tienen espines opuestos (por lo tanto, momentos dipolares magnéticos opuestos). Una molécula con electrones no pareados en general tendrá un momento dipolo magnético permanente. Un ejemplo clásico es la molécula de oxígeno. Usando la teoría de MO podemos predecir que el estado más estable del dioxígeno es un dirradical, con dos electrones no apareados; Esto no se puede predecir a partir de la estructura de Lewis. Los momentos magnéticos de los dos electrones no apareados tienden a alinearse con un campo magnético aplicado, lo que resulta en una magnetización neta de la sustancia en masa y el paramagnetismo. Aquí hay una imagen que vale 1000 palabras:
Tenga en cuenta que el nitrógeno líquido no se pegaría entre los polos de un imán, ya que no tiene electrones no apareados.
Por otro lado, muchas moléculas tienen momentos dipolares eléctricos permanentes (sin embargo, tenga en cuenta que muy pocas de ellas son capaces de transportar una polarización eléctrica neta en la sustancia a granel en ausencia de un campo eléctrico externo). Se dice que tales moléculas son polares .
No es necesario conocer la distribución exacta de las cargas en una molécula para predecir si la molécula será polar. Puedes aproximarlo considerando la polaridad de cada enlace . ¿Como es que? Bueno, imagina que tienes un sistema que consiste en varios dipolos. Puede calcular el momento dipolar total del sistema sumando los momentos dipolares de los dipolos individuales. (Esto es bastante obvio, ya que cada momento dipolar individual es la suma de [math] q_i \ mathbf {r} _i [/ math] para dos partículas, y el momento dipolar total es solo la suma de todas las partículas en el sistema. ) Para una molécula, la separación de carga generalmente ocurre como consecuencia de un enlace entre dos átomos de electronegatividad diferente (por ejemplo, O y H). Cuando esto sucede, la densidad de electrones se extrae del átomo menos electronegativo al átomo más electronegativo, lo que produce una separación de carga y, por lo tanto, un momento dipolar que apunta a lo largo del eje internuclear. Una aproximación aproximada es que cada enlace polar en una molécula contribuye independientemente al momento dipolar neto de la molécula. El siguiente diagrama [fuente] es ilustrativo:
En la molécula de agua, hay una densidad de carga positiva localizada en cada átomo de hidrógeno porque el oxígeno es más electronegativo. Por lo tanto, cada enlace OH tiene un momento dipolar asociado, que “apunta” a la O. (Los químicos definen el momento dipolar con el signo opuesto en comparación con los físicos; el momento dipolar en la física apunta hacia la carga positiva). El momento dipolar total es la suma del vector, que es distinta de cero debido a la forma en V de la molécula. El resultado es un momento dipolo eléctrico permanente para la molécula de agua. En la molécula de fluoruro de metilo (centro), podemos tratar los tres enlaces CH como si fueran básicamente no polares, ya que C y H tienen electronegatividades similares. La contribución dominante al momento dipolar proviene del enlace CF. Solo hay un enlace de este tipo, por lo que el momento dipolar total es solo el momento dipolar resultante de ese enlace. A la derecha tenemos la molécula de CO2 lineal. Ambos enlaces C = O tienen momentos dipolares ya que la carga positiva se localiza en C y carga negativa en O. Sin embargo, los dos momentos dipolares se cancelan debido a la forma de la molécula, y el CO2 es una molécula no polar en general. La molécula de tetrafluoruro de carbono también sería no polar: se cancelarían los momentos dipolares de los cuatro enlaces CF. (Puedes verificar que sumar los vectores del centro de un tetraedro regular a sus vértices da cero).
El momento dipolo eléctrico de una molécula contribuye a las fuerzas intermoleculares en una sustancia. En general, dos dipolos eléctricos serán atraídos entre sí; en la orientación apropiada, la carga negativa de una puede interactuar con la carga positiva de la otra. Sin embargo, me han dicho que a pesar de lo que su profesor de química de la escuela secundaria podría haberle dicho, las fuerzas dipolo-dipolo son en general más débiles que las fuerzas de dispersión de Londres, y que en una sustancia pura, las fuerzas de dispersión de Londres son casi siempre la fuerza intermolecular dominante.
El momento dipolar eléctrico de una molécula también contribuye a la constante dieléctrica de la sustancia a granel. Si, por ejemplo, incrustara una partícula de polvo cargada positivamente en una gota de agua, el campo eléctrico de la partícula de polvo induciría a las moléculas de agua a su alrededor a girar, de modo que sus momentos dipolares eléctricos sean paralelos al campo eléctrico (esto minimiza la energía potencial a medida que nosotros vi anteriormente). El resultado es que los extremos negativos de las moléculas de agua estarán más cerca de la partícula de polvo y cancelarán parcialmente el campo. De hecho, en el agua a temperatura ambiente, el campo eléctrico alrededor de una partícula cargada se reducirá en un factor de aproximadamente 78. Esta es la razón por la cual el agua es tan efectiva para disolver compuestos iónicos; dos iones sumergidos en agua solo sienten 1/78 de la atracción que sentirían en el vacío. Las moléculas no polares son mucho menos efectivas en los campos de “selección” de esta manera.