¿Por qué elegimos (a) sustituir en el término superior y (b) comenzar desde n = 1 mientras que (c) manteniendo sin cambios el poder de x?

No hay sustitución ocurriendo. Las dos expresiones son matemáticamente idénticas, pero la segunda línea tiene el término n = 0 escrito explícitamente a la izquierda (a), dejando n = 1 al infinito en el término medio (b). (a) y (b) están vinculados.

Nada más cambia en la expresión que puedo ver.

Ejemplo para (a) y (b):
[math] x ^ r \ left [\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + r) \ right] [/ math]
[math] = x ^ r \ left [(0 + r) + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (n + r) \ right] [/ math]
[math] = x ^ r \ left [(0 + r) + (1 + r) + \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} (n + r) \ right] [/ math]

Ejemplo para (c):
[math] x ^ r \ left [\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + r) x ^ {n + m} \ right] [/ math]
[math] = x ^ r \ left [(0 + r) x ^ {0 + m} + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (n + r) x ^ {n + m} \ right] [/mates]
[math] = x ^ r \ left [(0 + r) x ^ {0 + m} + (1 + r) x ^ {1 + m} + \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} (n + r) x ^ {n + m} \ right] [/ math]

EDITAR: Añadido para aclarar la pregunta en los comentarios a continuación.
[math] (1 + r) x ^ {1 + m} + (2 + r) x ^ {2 + m} + (3 + r) x ^ {3 + m} [/ math]
[math] = \ sum_ {n = 1} ^ {2} (n + r) x ^ {n + m} + (3 + r) x ^ {3 + r} [/ math]
[math] = \ sum_ {n = 1} ^ {3} (n + r) x ^ {n + m} [/ math]

la suma es de n = 0 al infinito.
tome el valor de (n + r) (2n + 2r-3) Cn x ^ (n-1) para n = 0, es r (2r-3) C0 x ^ -1, saque este término de la suma,
ahora la suma restante será de n = 1 al infinito.

Simplemente sacamos el primer término de la suma. La suma de n = 0-inf es la misma que su primer término más la suma de n = 1-inf
Si llego a una computadora real, intentaré mostrar esto usando una notación bastante sigma