Primero, debemos asumir que la cuerda solo se mueve un poco hacia un lado del equilibrio y que no se estira. Llamemos a [math] u [/ math] a ese desplazamiento.
Supongamos que tenemos una cadena con densidad lineal [math] \ rho (x) [/ math] y tension [math] \ tau (x) [/ math] en la que [math] x [/ math] es la distancia desde un borde de la cadena a un punto, como este 
Sería más natural utilizar una coordenada como [math] s [/ math], 
que se encuentra entre la cadena, pero si asumimos que [math] u [/ math] no es demasiado, entonces [math] s \ simeq x [/ math]
Ahora, tomemos un elemento de masa azul [math] \ rho (x) \ Delta x [/ math] en la posición, [math] x [/ math].
¿Qué fuerzas actúan sobre ella? Gravedad, electrostática, nuclear débil, midiclorianos, lo que sea … Centrémonos solo en la tensión [matemáticas] \ tau (x) [/ matemáticas]
Nuestra situación actual es la siguiente. 
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- ¿Por qué no usar manantiales o cualquier otro tipo de energía potencial para lanzar cohetes al espacio?
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Ahora, sobre nuestro elemento de masa, usamos la segunda ley de Newton [math] F = ma [/ math]. En nuestro caso, la fuerza neta es la suma de las tensiones, la aceleración es [math] \ ddot {u} [/ math] y la masa es [math] \ rho \ Delta x [/ math]
[math] \ ddot {u} \ rho \ Delta x \ simeq \ tau (x + \ Delta x) sin (\ phi) – \ tau (x) sin (\ theta) [/ math]
Ahora, como estamos hablando de movimientos realmente pequeños, como se dijo antes, para un ángulo dado [math] \ alpha [/ math], [math] sin (\ alpha) \ simeq \ alpha \ simeq tan (\ alpha) [/ mates].
Entonces, tenemos ahora
[math] \ ddot {u} \ rho \ Delta x \ simeq \ tau (x + \ Delta x) tan (\ phi) – \ tau (x) tan (\ theta) [/ math], pero [math] tan ( \ theta) \ simeq \ frac {u (x)} {\ Delta x} [/ math] y [math] tan (\ phi) \ simeq \ frac {u (x + \ Delta x)} {\ Delta x} [ /mates]
Así que ahora tenemos
[math] \ ddot {u} \ rho \ Delta x \ simeq \ tau (x + \ Delta x) \ frac {u (x + \ Delta x)} {\ Delta x} – \ tau (x + \ Delta x) \ frac {u (x)} {\ Delta x} [/ math]
que es lo mismo que
[math] \ ddot {u} \ rho \ Delta x \ simeq \ Delta \ frac {\ Delta \ tau u (x)} {\ Delta x} [/ math]
Sigamos adelante entonces
[math] \ ddot {u} \ rho \ simeq \ frac {\ Delta \ frac {\ tau (x) \ Delta u (x)} {\ Delta x}} {\ Delta x} [/ math]
En el límite de pequeñas oscilaciones, convierta esos [math] \ Delta [/ math] en [math] \ partial [/ math] y listo.
[math] \ ddot {u} \ rho = \ frac {\ partial \ frac {\ tau (x) \ partial u (x)} {\ partial x}} {\ partial x} = \ frac {\ partial} { \ partial x} \ frac {\ tau \ partial u} {\ partial x} [/ math]
Aún mejor si sabes que la tensión y la densidad son constantes.
[math] \ ddot {u} \ rho = \ tau \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} [/ math]
[math] \ ddot {u} = \ frac {\ tau} {\ rho} \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} = c ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ parcial x ^ 2} [/ math], donde [math] c [/ math] es una velocidad. ¿Velocidad de qué? Deberes.
Si estás KINDADO interesado en más de estas cosas, te recomendaría la mecánica teórica de partícula y continua de Fetter y Walecka.
Pero si te tengo REALMENTE interesado, trata de obtener la ecuación en un medio viscoso o qué sucede si hay gravedad. Aún mejor, vea qué sucede si tenemos una bola de masa [math] M [/ math] en la cadena. O la cadena tiene un resorte en un borde y se fija en el otro.