¿Cuáles son algunas de las ideas teóricas que Freeman Dyson imaginó?

Answer 1

Advertencia: – Es una respuesta bastante larga.

Creo que una de las ideas más extravagantes que propuso Dyson fue atacar la hipótesis de Riemann al tratar de clasificar los cuasicristales unidimensionales. El único problema es que la clasificación de los cuasicristales 1D es tremendamente difícil (tal vez más difícil que la clasificación de variedades tridimensionales) y un problema no resuelto en sí mismo (no sé su estado actual).

En un artículo de AMS [3], este enfoque se ha considerado como:

La prueba de la hipótesis de Riemann es un objetivo digno, y no nos corresponde a nosotros preguntarnos si podemos alcanzarlo. Le daré algunos consejos que describen cómo podría lograrse. Aquí le voy a dar voz al matemático que tenía hace cincuenta años antes de convertirme en físico. Primero hablaré sobre la Hipótesis de Riemann y luego sobre los cuasi cristales.

Hubo hasta hace poco dos problemas supremos sin resolver en el mundo de las matemáticas puras, la prueba del último teorema de Fermat y la prueba de la hipótesis de Riemann. Hace doce años, mi colega de Princeton, Andrew Wiles, eliminó el último teorema de Fermat y solo queda la hipótesis de Riemann. La prueba de Wiles del teorema de Fermat no era solo un truco técnico. Exigía el descubrimiento y la exploración de un nuevo campo de ideas matemáticas, mucho más amplio y más consecuente que el propio Teorema de Fermat. Es probable que cualquier prueba de la hipótesis de Riemann también conduzca a una comprensión más profunda de muchas áreas diversas de las matemáticas y quizás también de la física. La función zeta de Riemann, y otras funciones zeta similares a ella, aparecen de forma ubicua en la teoría de los números, en la teoría de los sistemas dinámicos, en la geometría, en la teoría de las funciones y en la física. La función zeta se encuentra en un cruce donde los caminos conducen en muchas direcciones. Una prueba de la hipótesis iluminará todas las conexiones. Como todos los estudiantes serios de matemáticas puras, cuando era joven soñaba con probar la hipótesis de Riemann. Tuve algunas ideas vagas que pensé que podrían llevar a una prueba. En los últimos años, después del descubrimiento de los cuasi cristales, mis ideas se volvieron un poco menos vagas. Los ofrezco aquí para que los consideren los matemáticos jóvenes que tienen ambiciones de ganar una Medalla Fields.

Los cuasi cristales pueden existir en espacios de una, dos o tres dimensiones. Desde el punto de vista de la física, los cuasi-cristales tridimensionales son los más interesantes, ya que habitan nuestro mundo tridimensional y se pueden estudiar experimentalmente. Desde el punto de vista de un matemático, los cuasi cristales unidimensionales son mucho más interesantes que los cuasi cristales bidimensionales o tridimensionales porque existen en una variedad mucho mayor. La definición matemática de un cuasi-cristal es la siguiente. Un cuasi cristal es una distribución de masas de puntos discretos cuya transformada de Fourier es una distribución de frecuencias de puntos discretos. O para decirlo más brevemente, un cuasi-cristal es una distribución de puntos puros que tiene un espectro de puntos puros. Esta definición incluye como un caso especial los cristales ordinarios, que son distribuciones periódicas con espectros periódicos.

Excluyendo los cristales ordinarios, los cuasi cristales en tres dimensiones vienen en una variedad muy limitada, todos ellos asociados con el grupo icosaédrico. Los cuasicristales bidimensionales son más numerosos, aproximadamente un tipo distinto asociado con cada polígono regular en un plano. El cuasi-cristal bidimensional con simetría pentagonal es el famoso mosaico de Penrose del avión. Finalmente, los cuasi cristales unidimensionales tienen una estructura mucho más rica ya que no están ligados a ninguna simetría rotacional. Que yo sepa, no existe una enumeración completa de cuasi-cristales unidimensionales. Se sabe que existe un cuasi cristal único que corresponde a cada número de Pisot-Vijayaraghavan o número de PV. Un número PV es un entero algebraico real, una raíz de una ecuación polinomial con coeficientes enteros, de manera que todas las demás raíces tienen un valor absoluto menor que un {} ^ 1. El conjunto de todos los números de PV es infinito y tiene una estructura topológica notable. El conjunto de todos los cuasi cristales unidimensionales tiene una estructura al menos tan rica como el conjunto de todos los números de PV y probablemente mucho más rica. No lo sabemos con certeza, pero es probable que un gran universo de cuasi-cristales unidimensionales no asociados con los números de PV esté esperando a ser descubierto.

Aquí viene la conexión de los cuasi cristales unidimensionales con la hipótesis de Riemann. Si la hipótesis de Riemann es cierta, entonces los ceros de la función zeta forman un cuasi-cristal unidimensional de acuerdo con la definición. Constituyen una distribución de masas puntuales en línea recta, y su transformada de Fourier es también una distribución de masas puntuales, una en cada uno de los logaritmos de los números primos ordinarios y los números de poder primos. Mi amigo Andrew Odlyzko ha publicado un hermoso cálculo computarizado de la transformada de Fourier de los ceros de función zeta {} ^ 2. El cálculo muestra con precisión la estructura esperada de la transformada de Fourier, con una discontinuidad aguda en cada logaritmo de un número primo o de potencia principal y en ninguna otra parte.

Mi sugerencia es la siguiente. Supongamos que no sabemos que la Hipótesis de Riemann es cierta. Abordemos el problema desde el otro extremo. Intentemos obtener una enumeración y clasificación completas de los cuasicristales unidimensionales. Es decir, enumeramos y clasificamos todas las distribuciones de puntos que tienen un espectro de puntos discreto … Luego, encontraremos los cuasi cristales conocidos asociados con los números de PV, y también un universo completo de otros cuasicristales, conocidos y desconocidos. Entre la multitud de otros cuasi cristales, buscamos uno correspondiente a la función zeta de Riemann y uno correspondiente a cada una de las otras funciones zeta que se parecen a la función zeta de Riemann. Supongamos que encontramos uno de los cuasi cristales en nuestra enumeración con propiedades que lo identifican con los ceros de la función zeta de Riemann. Luego hemos probado la hipótesis de Riemann y podemos esperar la llamada telefónica que anuncia la adjudicación de la Medalla Fields.

Estos son, por supuesto, sueños ociosos. El problema de clasificar los cuasicristales unidimensionales es terriblemente difícil, probablemente al menos tan difícil como los problemas que Andrew Wiles tardó siete años en explorar. Pero si adoptamos un punto de vista baconiano, la historia de las matemáticas es una historia de problemas terriblemente difíciles que resuelven los jóvenes demasiado ignorantes para saber que son imposibles. La clasificación de los cuasi cristales es un objetivo digno, y puede incluso llegar a ser alcanzable.

Creo que la idea de Dyson es muy interesante, ya que nos muestra cómo dos problemas no resueltos pueden resolverse entre sí. ¡Qué ironía!

Referencias: –
1. MJ Bertin et al. , Números de Pisot y Salem , Birkhäuser, Boston, 1992.
2. AM Odlyzko, Primes, caos cuántico y computadoras, en Teoría de números: Actas de un simposio , 4 de mayo de 1989, Washington, DC, EE. UU. (National Research Council, 1990), págs. 35–46.
3. Página en Ams