En física, ¿qué significa decir que la velocidad es la derivada del tiempo del desplazamiento con respecto al tiempo?

Answer 1

Siempre me resultó más fácil entender las derivadas como la “pendiente de una gráfica en cualquier punto”. Es decir, la tasa de cambio de y a medida que x cambia en una unidad en cualquier punto a lo largo del gráfico.

Por ejemplo, un gráfico de línea recta tiene un derivado que es solo un valor constante, es decir, no importa en qué punto del gráfico se encuentre, su pendiente / derivado es siempre el mismo. Vea este gráfico – mostrando millas a horas.
La pendiente a lo largo de todo el gráfico se mantiene 45 millas por cada cambio de 1 hora. Por lo tanto, la pendiente y, por lo tanto, la derivada es de 45 mph, que es la velocidad. Esto es análogo a alguien que conduce exactamente 45 mph en una línea recta: no girar, romperse, desacelerar, acelerar, solo mantener la velocidad y la dirección constantes.

Cuando el gráfico cambia de dirección (ya sea de forma irregular o a lo largo de alguna curvatura), la pendiente cambia a medida que se mueve a lo largo del gráfico, por lo que la derivada es un valor no constante. Digamos que tienes un gráfico de función cuadrado (es decir, una parábola).
En cualquier punto a lo largo de ese gráfico, la pendiente es diferente de cualquier otro punto. De hecho, tal parábola perfecta tiene una derivada que es una función de línea recta, es decir, la gráfica de la derecha es la derivada de la de la izquierda.

Entonces, al afirmar que la velocidad es la derivada temporal del desplazamiento, significa que es la pendiente de la gráfica donde tiempo = eje x y desplazamiento = eje y. La porción “con respecto al tiempo” es superflua, aunque tiende a usarse para reforzar la idea de que la velocidad no es necesariamente constante a medida que pasa el tiempo y que se mide en la dirección del tiempo positivo.

Por ejemplo, el gráfico parabólico anterior puede ser una aproximación de una bala disparada desde algún pozo de gravedad (por ejemplo, la Tierra), al menos parcialmente. Tiempo en el eje x, desplazamiento desde el suelo hacia arriba (es decir, una distancia vectorial con dirección) en el eje y. La velocidad sigue reduciéndose a medida que la gravedad “come” en el impulso de la bala. Hasta que algún punto en el que comienza a retroceder, momento en el que su velocidad (nota, no velocidad, como la velocidad también tiene un componente de dirección) ahora se vuelve negativo, y se vuelve cada vez más negativo.

Entonces, aquí puede ver que la velocidad es un valor en constante cambio, el cambio en la pendiente de la parábola, es decir, la función derivada de la parábola. Lo anterior estaría muy cerca de la velocidad real de tal bala si estuviera en un vacío puro y no haya otras fuerzas en juego excepto su propio impulso y la gravedad. Excepto, por supuesto, sus aceleraciones iniciales a través del cañón y su repentina parada cuando llega a la superficie.

Answer 2

Primero, aclaremos el proceso de aprendizaje. Comprender algo no es absorber lo que te dicen otras personas (es decir, tus profesores), sino convencerte activamente explorando todos los datos disponibles. Los maestros pueden poner todos los datos a tu disposición, pero solo tú puedes hacerte entenderlos. Para convencerte de algo, tienes que jugar, gustar (al menos por un tiempo) y experimentarlo. Esto es especialmente cierto en la comprensión de un concepto en ciencias.
¿Qué es la velocidad? Es una descripción más detallada de una posición. Es más detallado porque esta variable incluye no solo la posición, sino también su cambio. Por lo general, agregamos un punto superior a la posición, como [math] \ dot {x} [/ math]. Si conocemos [math] \ dot {x} [/ math], entonces conocemos x , pero lo contrario puede no ser cierto. La idea es encontrar el cambio de una posición. Pero, ¿cómo convertimos la idea en algo más tangible y más fácil de entender? El cambio puede ser grande o pequeño, dependiendo de cuánto tiempo lo observemos. Así que el término ‘cambio’ es vago. ¿Cómo encontramos algo que es vago? Tenemos que encontrar alguna forma de cuantificarlo. Que ‘de alguna manera’ es el tiempo. (El tiempo es el concepto más difícil de entender, así que dejaremos esto como está por ahora). Cuando cuantificamos el cambio de posición, que denotamos como dx , relativo al cambio de tiempo dt , encontramos que este valor ya no es vago. se convierte en una cantidad. En otras palabras, tomamos la proporción y lo llamamos un derivado, dx / dt . De aquí en adelante, llegamos a una definición de derivación,
[math] \ dot {x} [/ math] = dx / dt .
Espero que esto ayude a entender el derivado.

Answer 3

Piensa en una posición como una función de tiempo gráfico x (t)

lo que ves es una descripción de lo que hizo un conejo mientras huía de un lobo, con respecto al tiempo,

corre, disminuye la velocidad, se detiene, retrocede, se escapa!

Ya que la derivada de una función es la descripción de la tasa de cambio , te dice cómo el conejo cambió su posición en el tiempo.

Puede ir de a a b, pero tendrá que pasar por a1, a2, a3 ecc. durante este viaje puede pasar por los puntos a (n) en diferentes intervalos de tiempo , algunos mayores que los otros:
Gráficamente cambiarás la pendiente de tu dirección.

puede calcular ese cambio en el espacio con respecto al tiempo como un cambio en su movimiento:
tu velocidad o tu aceleración (que obtienes al tomar la segunda derivada de x (t), porque ahora estás verificando la tasa de cambio de tu velocidad a través del tiempo, que es una aceleración:

1. La aceleración es la derivada de la velocidad.
2. La velocidad es la derivada de la posición.

Entonces la aceleración es la segunda derivada de la posición.

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Ahora piénsalo a la inversa:

estás corriendo, cambias tu velocidad a través del tiempo, la suma de todos tus cambios te dará el espacio que viajaste en función del tiempo.

1. ¿Quieres saber lo que hiciste con tu velocidad? integralo, hermano!
2. ¿Quieres saber cómo viajaste tanto tiempo? diferenciarlo

¿Cuál es la derivada del conejo cuando se detiene?

Answer 4

Parece que no entiendes el cálculo y, por lo tanto, este concepto en física te elude por completo. Le sugiero que busque los conceptos de cálculo en Khan Academy, Khan Academy

Un problema adicional es que la velocidad en la física es un vector; De hecho, es un derivado con respecto al tiempo de un vector, en este caso el desplazamiento. Por lo tanto, necesitas estudiar vectores también.

Answer 5

Supongamos que empiezo a conducir desde mi casa y después de 1.5 horas estoy a 93 kilómetros de distancia. Mi velocidad promedio para ese tiempo es la distancia cubierta dividida por el tiempo, o aproximadamente 62 millas por hora.

Supongamos que a partir de ese marcador de 93 millas me encuentro a 103 millas de mi casa con un tiempo total de viaje de 1.75 horas. Mi velocidad promedio en las restantes .25 horas es de 10 dividido por .25, o 40 millas por hora.

En otras palabras, en casos como este, la velocidad promedio es la distancia dividida por el tiempo. (Y sí, soy consciente de que sabes esto. Ten paciencia conmigo).

Ahora supongamos que tenemos un caso en el que la distancia recorrida por algo (automóvil, avión, bala, wombat, lo que tienes) está dada por una función, digamos [math] d (t) = -16t ^ 2 + 320t +50 [/ math], donde t está en segundos y d (t) da la cantidad de pies recorridos después de que t segundos han transcurrido. En los primeros diez segundos, la distancia es [math] d (10) = -16 * 100 + 320 * 10 + 50 = 1650 [/ math] pies. La velocidad promedio es [math] \ frac {1650} {10} = 165 [/ math] pies por segundo.

No es muy diferente (aparte de las unidades) de mi ejemplo de conducción.

Ahora, considere esto: suponga que queremos saber qué tan rápido viaja el objeto nebuloso exactamente a t = 8 segundos. Podemos aproximarlo con velocidades promedio de esta manera:

De t = 7.999 a t = 8.001 la velocidad promedio es 64
por lo tanto, en un corto intervalo alrededor de t = 8, la velocidad promedio es de 64 pies por segundo, por lo que deberíamos sentirnos bastante bien al decir que esta es la velocidad en t = 8.

Pero esta era una expresión muy simple, y hacer un trabajo similar en problemas más complicados, esencialmente reinventar la rueda para cada problema, sería contraproducente. La respuesta está en esta distinción: lo que he estado calculando hasta ahora ha sido la velocidad promedio, y si queremos la velocidad en un momento preciso, realmente queremos una velocidad instantánea. Si pudiéramos hacer el intervalo alrededor de t = 8 arbitrariamente pequeño, tendríamos eso. Es decir, hacer [math] t – 8 [/ math] (la longitud de 8 a un final del intervalo de tiempo) “desaparecer”, estaríamos bien. Para hacer eso con el cálculo se requiere un límite, algo así como
[math] \ lim_ {t \ to 0} \ dfrac {d (t) – d (8)} {t – 8} [/ math]

pero esa expresión es solo la forma límite para la derivada de d en t = 8, entonces
La velocidad instantánea del objeto en t = 8 es

[math] g ‘(8) = \ lim_ {t \ to 0} \ dfrac {d (t) – d (8)} {t – 8} [/ math]

que es una instancia de la bestia que mencionó en su pregunta: la derivada temporal del desplazamiento con respecto al tiempo (el tiempo no debería mencionarse dos veces: esta es la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo O la derivada temporal del desplazamiento).

Answer 6

Es solo una jerga, aunque a veces es necesaria una jerga para indicar con absoluta precisión lo que quiere decir. Derivada del tiempo solo significa “tasa de cambio con respecto al tiempo”. La cantidad por la cual el desplazamiento (posición en el espacio) cambia en una unidad de tiempo es la tasa de cambio. Si grafica la posición en diferentes momentos como un gráfico, la pendiente del gráfico es la tasa de cambio y también la primera derivada con respecto al tiempo .

Velocidad = velocidad a la que la distancia cambia en la unidad de tiempo = dS / dt

Answer 7

La velocidad es la tasa de cambio del desplazamiento. Pero para representar la velocidad geométricamente tomamos la ayuda del cálculo y, por lo tanto, el término ” derivada temporal del desplazamiento con respecto al tiempo ” aparece en la imagen. significa que, si dibuja una gráfica en un plano con un eje horizontal (generalmente llamado eje x) como tiempo y un eje vertical (generalmente llamado eje y) como desplazamiento, la pendiente de esa curva en cualquier punto es ” velocidad”.

Answer 8

Si bien podemos profundizar en los detalles y las matemáticas, la versión corta es que la derivada de una función es una función (nueva) que representa la rapidez con la que la función original cambia con respecto a una de sus variables.

La derivada (tasa de cambio) de cuán lejos viaja algo, con respecto al tiempo, es la velocidad. Cuando te mueves mucho en un período de tiempo, tu velocidad es alta. Cuando no te mueves tanto durante el mismo período, tu velocidad es baja.

(Y la aceleración es la derivada de la velocidad, la sacudida es la derivada de la aceleración, y asumo que los físicos “reales” tienen términos más allá de eso …)

Podemos cuestionar que los derivados hablen sobre las tasas de cambio en cada instancia, pero eso nos lleva a discutir los límites, lo que va más allá de la cuestión, aquí.