Si hacemos una cadena a partir de los átomos de un grano de arena, colocando cada átomo uno tras otro, ¿cuánto tiempo durará la cadena?

Answer 1

¡Esta pregunta es en realidad bastante divertida!

Según Google, la masa de un solo grano de arena es [math] 6.66 \ times 10 ^ {- 7} kg [/ math]

Obviamente, esto varía enormemente. He visto gráficos que describen exactamente lo que constituye un grano de arena, y hay una variación considerable.

Solo redondeamos y digamos que [math] m_ {sand} \ approx 10 ^ {- 6} kg [/ math]

La arena está hecha principalmente de dióxido de silicio, que tiene una fórmula química SiO [math] _2 [/ math].

Como nota al margen, es importante tener en cuenta que esto no significa que la arena está hecha de muchos pequeños bultos de (uno de silicona y 2 de oxígeno), como se ve en los diagramas de agua, por ejemplo:

En cambio, el dióxido de silicio forma una estructura cristalina, con múltiples enlaces por átomo. La fórmula química SiO [math] _2 [/ math] simplemente te dice la proporción de Silicio a Oxígeno en esta estructura:

Pero para nuestro caso, realmente no hay mucha diferencia, vamos a calcular la masa de una sola base de SiO [math] _2 [/ math].

Wikipedia me dice que [math] M_ {silicon} = 28.085 u [/ math], y [math] M_ {Oxygen} = 15.999u [/ math], donde “[math] u [/ math]” es el atómico Unificado unidad de masa, [math] u = 1.66 \ times 10 ^ {- 27} kg [/ math]

Por lo tanto:

[math] M_ {SiO_2} = 60.083 u \ approx 10 ^ {- 25} kg [/ math]

Entonces, un sistema Silicon-2-Oxygen tiene una masa de [math] 10 ^ {- 25} kg [/ math], y un grano de arena tiene una masa de [math] 10 ^ {- 6} kg [/ math] – Las matemáticas simples nos dicen que debemos tener:

[math] 10 ^ {19} [/ math] Bases de silicio-oxígeno en nuestra estructura de cristal!

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Ahora, tenemos la pregunta de cómo hacer nuestra “cadena”.

¿Ignoramos todas las fuerzas intermoleculares, y simplemente pegamos los átomos uno al lado del otro, radio a radio?

Pero … los radios atómicos en realidad no están bien definidos. Los átomos no son bolas de billar pequeñas sólidas .

Alinear los átomos uno al lado del otro no tiene mucho sentido … ya que su tamaño es “difuso”.

Una alternativa mucho mejor es mantenerlos en su longitud de enlace estándar. Es decir, forma una cadena diatómica con la longitud de enlace especificada por los parámetros de cristal SiO [math] _2 [/ math].

Ahora, esto también es obviamente defectuoso (en el cristal, hay una unión de 4 vías, no tanto en una cadena lineal), pero es mucho mejor que simplemente “poner los átomos uno al lado del otro”, lo que simplemente no funciona. Realmente no tiene sentido para mí!

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La investigación me dice que la longitud del enlace estándar de un enlace Si-O en SiO [math] _2 [/ math] es [math] 160 \ times 10 ^ {- 12} m [/ math]

Tenemos dos de estos enlaces para cada base de Silicon-Oxygen, por lo que una sola “unidad” de nuestra cadena es [math] \ approx 300 \ times 10 ^ {- 12} m [/ math]

Tenemos [math] 10 ^ {19} [/ math] bases, cada una de esta longitud, lo que significa que nuestra cadena será:

[math] \ boxed {300 \ times 10 ^ {19-12} = 3 \ times 10 ^ 9 m} [/ math]

La respuesta a su pregunta es “En algún lugar alrededor de 3 billones de metros”.

La Luna está a 384,000 km de distancia, por lo que esta cadena llega hasta la Luna y regresa 4 veces.

De un solo grano de arena!

Se tarda 10 segundos en pasar de un extremo de su nueva cadena al otro …

Bastante genial, ¿eh?

Answer 2

Arena. ” World Book Encyclopedia . Chicago: World Book, 2000.

“Los científicos definen la arena como granos que miden desde 1/400 de pulgada (0.06 milímetros) hasta 1/12 de pulgada (2.1 milímetros) de diámetro”. 0.67–23 mg

Vamos a utilizar 0,67 mg.

Usando la masa molar de [math] SiO_2 [/math◆ (60.08 g / mol)

esto es 0.011 mmol (lo siento, soy un químico. Si la masa está en mg, luego uso mmol; fuerza de hábito)

multiplicado por el número de Avogadro, termino con 6.6 x [math] 10 ^ {18} [/ math] moléculas de [math] SiO_2 [/ math].

Eso fue fácil, pero ahora comienza la parte difícil [math] SiO_2 [/ math] podría ser la fórmula empírica de sílice o arena, pero obviamente la estructura cristalina es tridimensional. Simplemente no es posible hacer una cadena de moléculas [math] SiO_2 [/ math]. Pero usando estas fotos

Voy a estimar la longitud [math] SiO_2 [/ math] como 0.32nm (longitud entre dos unidades Si de la figura)

es decir, ca 1.6Å (eso es [math] 1.6 [/ math] x [math] 10 ^ {- 10} [/ math] m) multiplicado por dos = 0.32 nm

Entonces, la distancia total sería [math] 6.6 [/ math] x [math] 0.32 [/ math] x [math] 10 ^ {(18–9)} [/ math] m

[math] 2.1 [/ math] x [math] 10 ^ {9} [/ math] m o

2.1 mil millones de metros.

Uso de la unidad astronómica (o AU) : la medida utilizada para la distancia Tierra-Sol (149.6 mil millones de metros) que es aproximadamente 0.014 UA

o necesitarías unos 70 granos de arena para llegar de la Tierra al Sol.

La edición del 14 de marzo corrigió un error en el número de moléculas (factor 10), los resultados ahora corresponden a la respuesta de Jack Fraser

Answer 3

En lugar de buscar una estructura atómica detallada o longitudes de enlace, veamos si podemos simplemente responder esto desde las propiedades brutas.

• Sabemos el número de Avogadro y el peso de la fórmula de sílice SiO2 (60) que nos dirá cuántos átomos esperar en un material. Si solo promediamos eso para tres átomos obtenemos 20. Eso funcionará bien para contar los átomos.
• Podemos estimar el tamaño de un grano de arena, puede elegir un número, digamos 100 micrones. Puedes elegir tu propio tamaño, solo recuerda que se escala como un cubo.
• Por último, solo necesitamos saber la densidad del sílice, que es de 2.65 g / cc, lo suficientemente cerca.

Bien, ahora solo necesitamos aplicar un poco de buen sentido común y un poco de álgebra simple. No necesitamos una teoría atómica elegante de la estructura o longitudes de enlace, ya tenemos suficiente.

L = longitud

N = número de átomos

l = longitud de un lado del grano si tuviéramos que formarlo en un cubo.

d = distancia promedio entre los átomos

[math] L = Nd [/ math]

Necesitamos eliminar una variable. Vamos a deshacernos de d.

[math] l ^ {3} = Nd ^ {3} [/ math]

[math] L ^ {3} = N ^ {2} l ^ {3} [/ math]

Ahora tomamos algunas constantes físicas simples para deshacernos de N:

[math] \ rho [/ math] = la densidad

[math] F [/ math] = el peso promedio de la fórmula

[math] A [/ math] = número de Avogadro

[math] N = \ rho {l} ^ {3} A / F [/ math]

llevando a:

[math] L = (\ rho {A / F}) ^ {(2/3)} l ^ {3} [/ math]

¡lo que significa que la respuesta final es una función de la longitud del grano y algunas constantes físicas gruesas! Es un poco más fácil estimar la longitud de un grano que lo pesa, p. Ej. Solo córtelo, pero si lo deseaba por peso del grano en lugar de volumen, simplemente reduzca el exponente de densidad. Conectaré algunos números usando las unidades mks cuando tenga un momento. Espero que la fórmula sea correcta. Tengo que comprobarlo todavía, pero debería darle una idea de cómo hacerlo sin saber la estructura detallada.

Answer 4

Si usamos una de las respuestas a la pregunta ¿Cuántos átomos hay en un grano de arena? (Atoms 5 × 10 [math] ^ {19} [/ math] átomos, suena como una aproximación razonable), y use el “diámetro atómico” del átomo de Si (≈ 2.22 × 10 [math] ^ {- 10} [ / math] meter), y colóquelos a lo largo (sin “apretar”), la cadena sería meter 1.11 × 10 [math] ^ {10} [/ math] meter (≈ 11 Gm (billón de metros)).

Answer 5

La respuesta es sorprendentemente grande. Con preguntas como esta, será suficiente una estimación; no es posible realizar un cálculo exacto, porque no sabemos exactamente cuál sería la distancia entre las moléculas de arena cuando se colocan en una fila. Supondré que las moléculas de arena ocupan un volumen de radio de 10 ^ -9 m, tanto en un grano de arena como cuando se colocan en una fila, y que un grano de arena típico tiene un radio de aproximadamente 0,1 mm = 10 ^ -4m.

El volumen de un grano de arena = 4 x 10 ^ -12 m ^ 3, y el volumen de una molécula de arena = 4 x 10 ^ -27m ^ 3 (usando V = 4 / 3pi r ^ 3). Entonces, el número de moléculas en un grano de arena = 10 ^ -12 / 10 ^ -27 = 10 ^ 15. La longitud de la fila = 10 ^ 15 x 2 x 10 ^ -9 = 2 x 10 ^ 6 m = 2,000 km!

Podríamos estimar que el tamaño promedio de un grano de arena sea tan alto como 0.5 mm, y que el radio del volumen ocupado por una ‘molécula’ de arena sea tan pequeño como 1 x 10 ^ -10m. En este caso, la fila de moléculas funciona como 5 x 10 ^ 9 m, es decir, 5 billones de m. Entonces, la respuesta está entre 2,000 km y 5 millones de km, dependiendo de sus estimaciones iniciales.