Hmmm ¡Esta es una excelente pregunta! Estoy emocionado de ver otras respuestas. Históricamente, estos vienen a la mente:
- Matemáticas sintéticas. A menudo la gente remonta este concepto a Euclid, quien formalizó la geometría sintéticamente en lugar de “analíticamente” (uso este término en un sentido muy vago). Las matemáticas sintéticas implican definir las propiedades de las cosas atómicas y cómo estos átomos interactúan, sin restringirlos a algún sistema de semántica. Euclides hizo esto por puntos y líneas, pero el efecto de este concepto se ha propagado a través del pensamiento matemático. Hoy en día, los sistemas matemáticos más poderosos son sintéticos (estoy pensando en la teoría de categorías y la teoría de topos), y cualquier afirmación probada en el sistema sintético sigue siendo válida, independientemente de la semántica que elijamos. Entonces, por ejemplo, las afirmaciones en la teoría del tipo de homotopía son válidas internamente para cualquier topos infinito, ya sea de los groupoids infinitos, las pilas suaves o lo que sea. ¡Es encantador!
- Relacionadas estrechamente con el concepto de sintetismo, las matemáticas experimentaron muchos conflictos cuando las personas comenzaron a introducir ideas que (parecían) extremadamente no físicas y abstractas. Por ejemplo, los números negativos no cuentan el número de elementos en una colección de cosas y, sin embargo, son claramente muy útiles. No obstante, las ideas tales como números imaginarios, números negativos e incluso cero, no fueron aceptadas universalmente cuando se introdujeron por primera vez.
- Más allá del punto anterior, la idea de las jerarquías de cardenales y ordinales infinitos se burló de algunos de los matemáticos más destacados de la época en que Cantor los presentó por primera vez. Hoy en día, vemos que los ordinales se usan para probar afirmaciones en la teoría de juegos, que está ligada a la economía.
- En el otro extremo del espectro, los infinitesimales eran bastante revolucionarios. No solo se utilizaron en las primeras conceptualizaciones de cálculo y el estudio de las tasas de cambio, sino que también rastreamos el impacto de los infinitesimales hasta el trabajo de Sophus Lie y Élie Cartan (ayudaron a fundar el campo de la teoría de Lie). cuyas ideas se aplicaron posteriormente a la geometría algebraica (por ejemplo, Grothendieck utilizó nilpotency en álgebra conmutativa para formalizar infinitesimales en la teoría de esquemas, lo que llevó a la cohomología cristalina, que es algo así como geometría diferencial para espacios algebraicos), e infinitesimales han influido en algunos Profundo trabajo perteneciente a la analogía del campo de función.
- Grothendieck defendió un punto de vista interesante en la teoría de categorías y campos vecinos, a veces llamado la perspectiva relativa. La idea es que uno no debe centrarse en una clase específica de objetos, sino que debe ver estos objetos como constituyentes de una teoría parametrizada sobre una estructura básica. Uno puede aprender mucho sobre las estructuras individuales al ver qué sucede cuando se cambia la estructura base, y creo que las matemáticas que surgen tienden a generalizarse y expandirse más fácilmente.
- La dualidad es una idea realmente muy importante en matemáticas, y creo que estaríamos en una situación mucho peor si este concepto aún no se hubiera descubierto y se hubiera empleado ampliamente. La idea es que las razas de estructuras matemáticas vienen en pares, lo que puede parecer muy diferente. Sin embargo, cada propiedad de un lado de la moneda debe corresponder precisamente a una propiedad del objeto dual, y viceversa. Una de las aplicaciones más profundas de la dualidad está en la geometría algebraica, y creo que es una de las razones por las que el campo se ganó una reputación como extremadamente difícil. En realidad, definimos los esquemas afines como duales a los anillos conmutativos, y luego generalizamos esto diciendo que un esquema se modela localmente en esquemas afines.
- La idea de obtener estructuras globales al especificar un grupo de estructuras locales también ha tenido un gran impacto en las matemáticas, la física y la lógica. La idea generalmente se formaliza utilizando la teoría de topos: comienza con algo que se llama un sitio (que codifica toda la información local), y luego sus objetos globales se definen como elecciones coherentes de lo que sucede cuando intenta sondear el objeto con datos locales. piezas. Esto está fundamentalmente vinculado al lema de Yoneda; En términos generales, puede determinar toda la información estructural sobre algo con solo saber cómo se mapean otros objetos en él.
Esos son los grandes en los que pienso mucho, pero estoy muy inclinado hacia la geometría y la teoría de categorías. ¡Espero leer las perspectivas de otras personas!