Bueno, para entender específicamente
[math] \ left (x + dx \ right) ^ 2 = x ^ 2 + 2xdx [/ math],
Considere el derivado,
[math] \ frac {d \ left (x ^ 2 \ right)} {dx} = 2x [/ math]
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Recuerde que esta cantidad representa la línea tangente a la curva, [math] x ^ 2 [/ math] en el punto, x.
También podemos decir que si [math] dx [/ math] es lo suficientemente pequeño, entonces, podemos aproximar la curva en el punto, x, como
[math] y (x + dx) \ approx y (x) + dx \ frac {dy} {dx} [/ math]
Es costumbre abusar de la notación y escribir, en cambio,
[math] y (x + dx) = y (x) + dx \ frac {dy} {dx} [/ math]
siempre que esté claro que dx y dy son infinitesimales (más sobre esto en un segundo).
Esta ecuación es, en pocas palabras, el núcleo de la notación Leibniz. Todas las otras formas de manipular [math] \ frac {dy} {dx} [/ math], seguir de esta relación entre dx y dy.
Cabe señalar que no todas las funciones tienen esta propiedad. De hecho, solo las funciones diferenciables nos permiten escribir esto. Existen curvas, como la función de Weierstrass , que no se pueden diferenciar en absoluto.
Sin embargo, la función que proporciona como ejemplo es diferenciable; Tiene un derivado. Para ver esto, primero hagamos trampa:
[math] \ frac {d \ left (x ^ 2 \ right)} {dx} = 2x [/ math]
Así, por las ecuaciones anteriores,
[math] \ left (x + dx \ right) ^ 2 = x ^ 2 + dx \ cdot 2x [/ math]
¿Pero por qué es esto así?
Bueno, volvamos atrás y reevaluamos.
[math] \ frac {d \ left (x ^ 2 \ right)} {dx} [/ math]
Esto es
[math] \ lim_ {dx \ to 0} \ frac {\ left (x + dx \ right) ^ 2 – x ^ 2} {dx} [/ math]
Pero, [math] \ left (x + dx \ right) ^ 2 = x ^ 2 + 2xdx + dx ^ 2 [/ math]
Entonces, debemos evaluar
[math] \ lim_ {dx \ to 0} \ frac {2xdx + dx ^ 2} {dx} [/ math]
Vamos a parar ahí
Cuando escribimos
[math] \ frac {d \ left (x ^ 2 \ right)} {dx} = \ lim_ {dx \ to 0} \ frac {\ left (x + dx \ right) ^ 2 – x ^ 2} {dx }[/mates]
Lo que realmente queremos decir es que siempre podemos hacer dx lo suficientemente pequeño para que
[math] \ frac {d \ left (x ^ 2 \ right)} {dx} – \ frac {\ left (x + dx \ right) ^ 2 – x ^ 2} {dx} [/ math]
Es lo más cerca que queremos a 0.
La definición matemática de un límite formaliza esto.
Más formalmente, elegimos un número, [math] \ epsilon [/ math], que es tan pequeño como queremos. Entonces, podemos encontrar un número adecuado, dx, tal que
[math] \ left | \ frac {\ left (x + dx \ right) ^ 2 – x ^ 2} {dx} – \ frac {d \ left (x ^ 2 \ right)} {dx} \ right | \ leq \ left | \ epsilon \ right | [/ math]
¿Por qué podemos hacer esto?
Vamos a evaluar la fracción:
[math] \ frac {\ left (x + dx \ right) ^ 2 – x ^ 2} {dx} = \ frac {x ^ 2 + 2xdx + dx ^ 2 – x ^ 2} {dx} = \ frac { 2xdx} {dx} + \ frac {dx ^ 2} {dx} = 2x + \ frac {dx ^ 2} {dx} [/ math]
Eso significa que si elegimos [math] \ epsilon [/ math], solo necesitamos resolver
[math] 2x – \ left (2x + \ frac {dx ^ 2} {dx} \ right) \ leq \ epsilon [/ math]
Que es simplemente
[math] dx \ leq \ epsilon [/ math]
Esto también significa que podemos hacer
[math] \ left (x + dx \ right) ^ 2 [/ math]
tan cerca como queramos
[math] x ^ 2 + 2xdx [/ math]
Simplemente especifique el [math] \ epsilon [/ math] apropiado y encuentre [math] dx [/ math].
Por lo tanto, realmente podemos escribir
[math] \ left (x + dx \ right) ^ 2 = x ^ 2 + 2xdx [/ math]
Si abusamos de la notación.
Otra forma de pensar acerca de esto es notar que [math] dx ^ 2 [/ math] es realmente muy pequeño. Considere, por ejemplo, [math] dx = 0.00001 [/ math].
Entonces [math] dx ^ 2 = 0.000000001 [/ math]. Hemos añadido 4 más 0’s. Más generalmente, si [math] dx [/ math] está en el orden de [math] 1 \ times 10 ^ {- n} [/ math], entonces [math] dx ^ 2 [/ math] está en el orden de [math] 1 \ times 10 ^ {- 2n} [/ math].