¿Cómo hay más números reales entre 0 y 1 que números cardinales entre 1 y aleph null?

Answer 1

Está bien, no soy matemático, pero sé que es algo que tiene que ver con el emparejamiento.

Como, digamos que tienes dos montones de cosas. Una pila de naranjas y una pila de bananas, y quieres saber si tienes más naranjas o más bananas. Puedes simplemente contarlos y ver qué número es más grande. O, si no tenías ganas de contar, podrías unirlas. Puedes tomar una naranja y una banana, y reservarlas, luego tomar una naranja más y una banana, y reservarlas y unirlas para que cada naranja esté al lado de una banana. Entonces, si tuvieras naranjas sobrantes, sabrías que tenías más naranjas.

Así es como los matemáticos manejan los infinitos, porque obviamente, no puedes contar hasta el infinito.

Entonces, imagine ahora que tiene una ‘pila’ que es todos los números reales entre 0 y 1, y una ‘pila’ que es todos los números cardinales entre 1 y aleph null. Quieres unirlos. Entonces, tomas el primer número cardinal de tu lista, 2. Luego lo comparas con el primer número real, que es … uh …

No hay un primer número real. ¿Sería .1? ¿O .00001? ¿O .000000000000001? No, siempre puedes ir más pequeño, por lo que no hay un primer número real. (Esto se llama infinito incontable).

Por lo tanto, todavía puede tratar de emparejarlos. Pero como no tiene un punto de inicio real para los números reales, y tiene un punto de partida para los números cardinales, siempre tendrá números reales “adicionales”. Al igual que, imagina que recorres todos los números cardinales con un número real. Estás completamente fuera de los números cardinales, porque los emparejaste a todos. Pero no te quedas sin números reales, porque siempre puedes cambiar los valores de posición y hacer un número completamente nuevo. (El Argumento Diagonal de Cantor es una forma de hacerlo, pero probablemente deberías buscarlo si quieres saberlo).

Entonces, tienes números reales adicionales al final, así que debe haber más de ellos.

Answer 2

Pregunta respondida originalmente: ¿Cómo hay más números reales entre 0 y 1 que números cardinales entre 1 y aleph null?

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Dos conjuntos son del mismo tamaño (técnicamente llamados equinumerosos) si y solo si hay una bijección entre ellos. Es decir, si y solo si los miembros de cada conjunto se pueden colocar en una correspondencia uno a uno.

Ahora, existen bijections entre el conjunto [math] \ mathbb {R} [/ math] y el conjunto [math] \ {x | 0

Por ejemplo, la función [math] f: \ mathbb {R} \ mapsto (0,1) [/ math] definida por [math] \ displaystyle f (x) = \ frac {1} {1 + e ^ x} [ / Matemáticas] es tal bijección. Esto significa que estos conjuntos de números tienen el mismo número de elementos.

Sin embargo, no existe una bijección entre [math] \ mathbb {R} [/ math] y [math] \ mathbb {N} [/ math].

Ahora es fácil ver que existen inyecciones de [math] \ mathbb {N} [/ math] en [math] \ mathbb {R} [/ math], simplemente porque [math] \ mathbb {N} \ subset \ mathbb {R} [/ math], y por lo tanto la función [math] f: \ mathbb {N} \ mapsto \ mathbb {R} [/ math] definida por [math] f (x) = x [/ math] Es una inyección tal. Entonces, eso significa que si podemos probar que una inyección de este tipo no puede ser superyectiva, entonces habremos establecido que hay más números reales que números naturales.

Ahora, este teorema fue probado por Cantor utilizando un argumento de diagonalización, que mostró que no se puede producir una lista completa de todos los números reales. Es decir, mostró que, dada cualquier supuesta lista completa de los reales, uno puede construir un número real que no esté en esa lista.

Combina estos dos hechos y tendrás la respuesta a tu pregunta.

Answer 3

[No es realmente mi campo; sin embargo, creo que] los números cardinales entre 1 y aleph null son precisamente los números naturales (y aleph null). Por lo tanto, hay tantos números cardinales como números naturales. Hay más números reales (incluso entre cero y uno) que números naturales, según el argumento de la Diagonalización de Cantor. Por lo tanto, sí.

Answer 4

Sí, creo que eso es verdad. La teoría de los números fue hace mucho tiempo. Hay tantos números reales entre 0 y 1 como números reales. El número cardinal es otra forma de decir entero positivo. Aleph null es el infinito de los enteros.

Hay más números reales que enteros. La prueba es un problema de mapeo simple.

Answer 5

Las otras respuestas lo tienen correcto.

Otra forma de verlo es que no hay límite para el número de valores reales entre dos números.

Hay al menos tantos reales posibles entre 2.1 y 2.2 como entre 2.0 y 3.0. Y lo mismo de nuevo entre 2.11 y 2.12. Y de nuevo 2.111 y 2.112.

No está relacionado con decir que no hay límite para el número de lugares decimales que puede usar.

Tenga en cuenta que esta no es una verdad matemática que se puede aplicar al universo. No parece que podamos tomar rebanadas más delgadas de una barra de hierro. A pequeña escala deja de ser hierro, y en escalas más pequeñas deja de ser materia.

Answer 6

Argumento de la diagonal de Cantor – Wikipedia

Esto lo explica y lo prueba.

Answer 7

Los números reales pueden ser infinitos.

Por ejemplo,

1.0000089001

1.0000089002

1.0000089003

Así se pueden crear miles y millones de números reales.