La primera clave es la idea de que el operador de impulso es el generador de traducciones espaciales . Esto es realmente lo que nos dice la relación de conmutación canónica.
Esto es lo que significa: Imagina que tenemos estados propios de posición [math] \ hat {X} | x \ rangle = x | x \ rangle [/ math]. Luego considere el conjunto de operadores [math] U (a) = e ^ {- i \ hat {P} a / \ hbar} [/ math] donde [math] a [/ math] es un número real. ¿Cuál es la acción de este operador en los estados propios de la posición?
Bueno, podemos calcular [math] \ left [\ hat {X}, U (a) \ right] [/ math] usando la relación de conmutación canónica. Primero, es útil observar que [math] \ left [\ hat {X}, \ hat {P} ^ n \ right] = i \ hbar n \ hat {P} ^ {n-1} [/ math] ( prueba dejada como ejercicio). Entonces podemos ver eso
[math] \ left [\ hat {X}, U (a) \ right] = \ left [\ hat {X}, 1-i \ hat {P} a / \ hbar + (- ia \ hat {P} / \ hbar) ^ 2/2 + \ dots \ right] [/ math]
[math] = a + a (-ia \ hat {P} / \ hbar) + \ dots [/ math]
[math] = aU (a) [/ math]
¿Y entonces que? Bueno ahora podemos ver eso
[math] \ hat {X} U (a) | x \ rangle = U (a) (\ hat {X} + a) | x \ rangle = (x + a) U (a) | x \ rangle [/ mates]
Esto nos dice que [math] U (a) | x \ rangle = | x + a \ rangle [/ math]. (Haciendo ciertos supuestos demostrables sobre la degeneración y la normalización.)
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Entonces, usando el operador de impulso podemos construir cualquier estado propio de posición desde un solo estado de referencia, llamémoslo [math] | x_0 \ rangle [/ math]. Es decir, [math] | x \ rangle \ equiv e ^ {- i \ hat {P} (x-x_0) / \ hbar} | x_0 \ rangle [/ math].
Dado que [math] U (a) [/ math] es una función de [math] \ hat {P} [/ math] solo su acción en los estados propios del impulso es simple: [math] e ^ {- i \ hat {P} a / \ hbar} | p \ rangle = e ^ {- ipa / \ hbar} | p \ rangle [/ math].
Poniendo todo esto junto: [math] \ langle x | p \ rangle = \ langle x_0 | U (x-x_0) ^ † | p \ rangle = \ langle x_0 | U (x_0-x) | p \ rangle = e ^ {ip (x-x_0) / \ hbar} \ langle x_0 | p \ rangle [/ math].
Ahora podemos hacer lo mismo con estados propios de momento y un momento de referencia para que [math] | p \ rangle = e ^ {i \ hat {X} (p-p_0) / \ hbar} | p_0 \ rangle [/ math] . Esto nos da
[math] \ langle x | p \ rangle = e ^ {ip (x-x_0) / \ hbar} \ langle x_0 | e ^ {i \ hat {X} (p-p_0) / \ hbar} | p_0 \ rangle = e ^ {ip (x-x_0) / \ hbar} e ^ {ix_0 (p-p_0) / \ hbar} \ langle x_0 | p_0 \ rangle = e ^ {ipx / \ hbar} \ times const. [/ math].
La constante se puede elegir arbitrariamente, y generalmente se elige para la normalización.
Entonces, eso es: [math] \ langle x | p \ rangle = N e ^ {ixp / \ hbar} [/ math]. Recuerde, la clave de todo esto es que la relación de conmutación canónica significa que el operador de impulso genera traducciones espaciales, y el operador de posición genera refuerzos en los estados de impulso. Todo lo demás se sigue de ese hecho.