A Allan Turing se le ocurrió el problema de la detención de las máquinas de cómputo, demostrando que era indecidible … y su análisis del problema de la detención se acerca mucho a sus implicaciones y al espíritu de la obra de Godel. Incluso si Godel hizo su trabajo primero, me parece que Turning podría haber tenido sus ideas sobre el problema de la detención y sus implicaciones para las matemáticas y la lógica.
Cantor ideó una prueba ingeniosa para demostrar que hay infinitamente más números irracionales que racionales … que hay literalmente un tipo diferente de infinito, y lo hizo al mostrar que una correspondencia uno a uno entre los racionales y los irracionales produce una contradicción .
Para hacer esto, Cantor usó un método “diagonal” que, en efecto, usa una lista de números para vencerse a sí mismo. No importa cómo liste todos los números racionales, esa lista puede usarse para derrotarse a sí misma. De alguna manera, esto es una ancitipación del método de Godel.
Pero una forma mucho más antigua de la técnica de Godel es simplemente la famosa Paraodoxa Mentirosa:
- Tengo 20 años y estoy empezando a volver a aprender matemáticas básicas. ¿Puedo tener la oportunidad de ser un buen científico (en cualquier rama de la ciencia)?
- ¿El tamaño de la materia afecta a la gravedad?
- ¿Existe una reacción química endotérmica que pueda causar un cambio de entalpía lo suficientemente grande como para que su entorno alcance el cero absoluto?
- ¿Cómo puede la levitación de los sabios explicada por la ciencia?
- Los compuestos y las mezclas pueden descomponerse en sustancias más simples. Explica cómo sucede esto para cada tipo de materia.
Esta afirmación es una mentira.
Esta famosa Paradoja de los Mentirosos se usa incluso en un episodio de Star Trek (“I, Mudd”) para derrotar a una raza de andriodos al volverlos locos con la lógica. Incluso el señor Spock se une a la diversión.
El origen histocial de la Paradoja de la Guarida se considera la siguiente declaración:
Epimenides fue un cretense que hizo una declaración inmortal: “Todos los cretenses son mentirosos”.
Y ahora aquí está la versión de Godel:
No soy demostrable en el sistema S.
Godel usa algo como esto, o más bien, un equivalente numérico que usa un sistema de “numeración de Godel” para hacer que cualquier sistema se derrote a sí mismo. Si una declaración afirma su propia falta de comprobabilidad, debe ser cierta … de lo contrario, sería tanto falsa como demostrable. Pero si el sistema S puede probar una declaración falsa, es inconsistente. Por lo tanto, para que un sistema de la teoría de los números sea consistente, debe haber una proposición que sea verdadera y no demostrable.